Question

2．若x+y+z=xyz，关于x，y，z的代数式x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=kxyz恒成立，求k值．

Answer 1

分析 首先利用多项式乘法将原式去括号，进而重新分组提取公因式，即可结合已知合并同类项得出答案．

解答 证明：∵x+y+z=xyz，
∴左边=x（1-z²-y²+y²z²）+y（1-z²-x²+x²z²）+z（1-y²-x²+x²y²）
=（x+y+z）-xz²-xy²+xy²z²-yz²+yx²+yx²z²-zy²-zx²+zx²y²
=xyz-xy（y+x）-xz（x+z）-yz（y+z）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz-xy（xyz-z）-xz（xyz-y）-yz（xyz-x）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz．
∴x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=4xyz，
∴k=4．

点评 此题主要考查了多项式乘法以及提取公因式法的应用，正确分组是解题关键．