Question

4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=$\frac{3}{20}$x²-3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（10、0），BK的长是8，CK的长是10；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S₁和S₂，在点M的运动过程中，S₁•S₂（即S₁与S₂的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

Answer 1

分析 （1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．
②在Rt△BKF中利用勾股定理即可解决问题．
③设OA=AF=x，在Rt△ACF中，AC=8-x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．
（2）不变．S₁•S₂=289．由△GHN∽△MHG，得$\frac{GH}{MH}$=$\frac{HN}{GH}$，得到GH²=HN•HM，求出GH²，根据S₁•S₂=$\frac{1}{2}$•OG•HN•$\frac{1}{2}$•OG•HM即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

①∵抛物线y=$\frac{3}{20}$x²-3x+m的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=10，
∴点B坐标（10，0），
∵四边形OBKC是矩形，
∴CK=OB=10，KB=OC=8，
故答案分别为10，0，8，10．
②在Rt△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，
∴FK=$\sqrt{B{F}^{2}-B{K}^{2}}$=6，
∴CF=CK-FK=4，
∴点F坐标（4，8）．
③设OA=AF=x，
在Rt△ACF中，∵AC²+CF²=AF²，
∴（8-x）²+4²=x²，
∴x=5，
∴点A坐标（0，5），
代入抛物线y=$\frac{3}{20}$x²-3x+m得m=5，
∴抛物线为y=$\frac{3}{20}$x²-3x+5．

（2）不变．S₁•S₂=289．
理由：如图2中，

在Rt△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，
∴DG=$\sqrt{G{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$=15，
∴CG=CD-DG=2，
∴OG=$\sqrt{O{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵CP⊥OM，MH⊥OG，
∴∠NPN=∠NHG=90°，
∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，
∴∠HGN=∠NMP，
∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，
∴△GHN∽△MHG，
∴$\frac{GH}{MH}$=$\frac{HN}{GH}$，
∴GH²=HN•HM，
∵GH=OH=$\sqrt{17}$，
∴HN•HM=17，
∵S₁•S₂=$\frac{1}{2}$•OG•HN•$\frac{1}{2}$•OG•HM=（$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{17}$）²•17=289．

点评 本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值，属于中考压轴题．