Question

12．如图，抛物线y=a（x-2）²+k与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，A（1，0），S_△ABC=3
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在线段BC上，将线段OM绕点O逆时针旋90°，若点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N点的坐标；
（3）将△OAC沿AC翻折得到△EAC，再将抛物线沿直线AE方向移动，交AE于H，G两点，试问在移动过程中，HG的长度是否发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B关于对称轴对称，求出点B坐标，再根据△ABC的面积，求出点C坐标，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-3），把（0，-3）代入求出a即可解决问题．
（2）如图1中，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，由△NFO≌△OEM，得OF=EM，FN=OE，由B（3，0），C（0，-3），得直线BC的解析式为y=x-3，设M（m，m-3），则点N坐标（3-m，m），把点N（3-m，m）代入抛物线解析式y=-x²+4x-3即可解决问题．
（3）如图2中，设直线OE交AC于K，交抛物线于F．根据平移的性质可知AF=HG，所以GH的值不变．想办法求出AF的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-2）²+k与x轴交于A，B两点，A（1，0），
∴对称轴x=2，B（3，0），
∵S_△ABC=3，
∴$\frac{1}{2}$×AB×OC=3，
∴OC=3，
∴点C坐标为（0，-3），
设抛物线解析式y=a（x-1）（x-3），把（0，-3）代入得到a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3．

（2）如图1中，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F．

∵∠MON=90°，
∴∠NOF+∠MOE=90°，∠NOF+∠ONF=90°，
∴∠MOE=∠ONF，
在△NFO和△OEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NFO=∠OEM=90°}\\{∠MOE=∠ONF}\\{ON=OM}\end{array}\right.$，
∴△NFO≌△OEM，
∴OF=EM，FN=OE，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC的解析式为y=x-3，设M（m，m-3），
∴点N坐标（3-m，m），
把点N（3-m，m）代入抛物线解析式y=-x²+4x-3得到，m=-（3-m）²+4（3-m）-3，解得m=1，
∴点N坐标（2，1）．

（3）如图2中，设直线OE交AC于K，交抛物线于F．根据平移的性质可知AF=HG，所以GH的值不变．

∵A（1，0），C（0，-3），
∴直线AC解析式为y=3x-3，
∵△AEC是由△ACO翻折得到，
∴AC垂直平分OE，
∴直线OE解析式为y=-$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=3x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{10}}\\{y=-\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
∴点K坐标（$\frac{9}{10}$，-$\frac{3}{10}$），
∴点E坐标（$\frac{9}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}X+\frac{3}{4}}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{33}{16}}\end{array}\right.$，
∴点F坐标（$\frac{15}{4}$，-$\frac{33}{16}$），
∴AF=$\sqrt{（\frac{15}{4}-1）^{2}+（\frac{33}{16}）^{2}}$=$\frac{55}{8}$．
∴GH=AF=$\frac{55}{8}$．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质、平移的性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组求出两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．