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    如图1，以△ABC边AB和AC为边作等边△ABD和△ACE，连接DC，BE，
    （1）判断BE与DC的数量关系，并求BE与DC的夹角∠EFC的度数；
    （2）继续探索，如图2，以△ABC的AB和AC为边作正方形ABEF和ACGH，连接FC、BH，判断FC和BH的数量关系，并求出此时FC与BH的夹角；

    （3）如图3中M、N分别是BC、FH的中点，P、Q分别是正方形的中心，顺次连接MPNQ，判断四边形MPNQ的形状并证明．
    分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DC，全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根据三角形内角和定理计算即可得解；
    （2）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABH和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=FC，全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，设BH、CF相交于点G，再根据四边形的内角和定理计算即可求出∠BGF=90°，根据垂线的定义即可得证；
    （3）根据正方形的对角线互相平分可得点P、Q分别是BF、CH的中点，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PN∥BH，PN=
    1
    2
    BH，MQ∥BH，MQ=
    1
    2
    BH，NQ∥CF，NQ=
    1
    2
    CF，PM∥CF，PM=
    1
    2
    CF，再根据（2）的结论可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，从而判定四边形MPNQ是菱形，再根据BH⊥CF求出PN⊥NQ，根据有一个角是直角的菱形是正方形证明．
    解答：解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
    ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
    ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
    即∠BAE=∠DAC，
    在△ABE和△ADC中，
    AB=AD
    ∠BAE=∠DAC
    AE=AC
    ，
    ∴△ABE≌△ADC（SAS），
    ∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
    ∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°，
    ∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=180°-120°=60°；
    故BE=DC，∠EFC的度数为60°；

    （2）在正方形ABEF和ACGH中，AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
    ∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC，
    即∠BAH=∠CAF，
    在△ABH和△AFC中，
    AB=AF
    ∠BAH=∠CAF
    AC=AH
    ，
    ∴△ABH≌△AFC（SAS），
    ∴BH=FC，∠AFC=∠ABH，
    ∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°，
    设BH、CF相交于点G，
    则∠EGF=360°-180°-90°=90°，
    ∴BH⊥FC，
    故BE=DC且BH与FC的夹角为90°；

    （3）四边形MPNQ为正方形．理由如下：
    ∵P、Q分别是正方形的中心，
    ∴P、Q分别是BF、CH的中点，
    ∵M、N分别是BC、FH的中点，
    ∴PN∥BH，PN=
    1
    2
    BH，MQ∥BH，MQ=
    1
    2
    BH，NQ∥CF，NQ=
    1
    2
    CF，PM∥CF，PM=
    1
    2
    CF，
    根据（2）的结论，BH=CF，BH⊥CF，
    ∴MP=PN=NQ=MQ，
    ∴四边形MPNQ是菱形，
    ∵BH⊥CF，PN∥BH，NQ∥CF，
    ∴PN⊥NQ，
    ∴菱形MPNQ是正方形，
    故四边形MPNQ为正方形．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，准确识图并熟记各性质是解题的关键，此类题目最大的特点是各小题所用的思路都相同．
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