如图.在平面直角坐标系中.抛物线C1:y1=-x2关于直线x=1对称.可得到抛物线C2．且C1和C2交于点P.顶点分别是点O和点Q．(1)求抛物线C2的表达式,(2)定义:像C1和C2两条抛物线.将其中一条只通过直线x=m对称得另一条.且∠OPQ=90°.这样的抛物线称为和谐线.那么抛物线C1和C2是和谐线吗?请说明理由, 的定义条件下.求抛物线y=x2-2x-3的和谐线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y₁=-x²关于直线x=1对称，可得到抛物线C₂．且C₁和C₂交于点P，顶点分别是点O和点Q．
（1）求抛物线C₂的表达式；
（2）定义：像C₁和C₂两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的抛物线称为和谐线，那么抛物线C₁和C₂是和谐线吗？请说明理由；
（3）在（2）的定义条件下，求抛物线y=x²-2x-3的和谐线．

分析（1）根据图形左加右减，可得函数解析式；
（2）①根据两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△OPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
②根据两条抛物线，将其中一条只通过直线x=m对称得另一条，且∠OPQ=90°，这样的两条抛物线成为“和谐线”，可得△EPQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）如图1，∵O与Q关于直线x=1对称，
∴Q（2，0），
∴将抛物线C₁向右平移2个单位得到抛物线C₂：y₁=-（x-2）²；

（2）抛物线C₁和C₂是和谐线，理由如下：如图2，
由∠OPQ=90°，OP=PQ，得
∠POG=45°，OG=QG=$\frac{1}{2}$OQ=m，
当x=m时，y=-m²，即P（m，-m²）．
由∠POG=45°，∠OGP=90°，得
OG=GP，即|m|=|-m²|，
解得m=0（舍）、m=1、或m=-1（舍去），
∴点O与点Q关于直线x=1对称，
∴抛物线C₁与抛物线C₂关于直线x=1对称，
综上所述：当C₁和C₂是和谐线；
②如图3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，抛物线y=x²-2x-3的和谐线y=（x-1-2m）²-4，
由△PEQ是等腰直角三角形，得△PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ．
当x=1+$\frac{m}{2}$时，y=$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，即P（1+$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$-4），
FP=--（$\frac{{m}^{2}}{4}$-4）=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．解得m=2，m=0（舍），
抛物线y=x²+2x-3的和谐线y=（x-1）²-4，
同理向左对称，m=-2，
抛物线y=x²+2x-3的和谐线y=（x+3）²-4，
综上所述：抛物线y=-x²-2x+3的和谐线y=（x-1）²-4或y=（x+3）²-4．

点评本题考查了二次函数综合题，利用两条抛物线成为“和谐线”得出△EPQ是等腰直角三角形是解题关键．

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