Question

17．已知四边形ABCD为矩形，延长CB到E，使CE=CA，连接AE，F为AE的中点，连接BF，DF，DF交AB于点G，下列结论：
（1）BF⊥DF；
（2）S_△BDG=S_△ADF；
（3）EF²=FG•FD；
（4）$\frac{AG}{BG}$=$\frac{BC}{AC}$
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 方法一、利用矩形的性质和直角三角形的性质得出结论判断出△BDF≌△ACF，借助直角三角形的斜边大于直角边，再用面积公式判断出面积大小，判断出△AFG∽△DFA，△BFG∽△DFB，即可判断出结论．
方法二、利用矩形的性质和直角三角形的性质得出结论判断出△BDF≌△ACF，进而判断出B、F、A、D四点共圆．

解答 解：方法一、如图1，连接CF，

设AC与BD的交点为点O，
∵点F是AE中点，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
在△BDF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAC=∠FBD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BF⊥DF，
所以①正确；
过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，
在Rt△AFH中，FH＜AF，
在Rt△BFG中，BG＞BF，
∵AF=BF，
∴BG＞FH，
∵S_△ADF=$\frac{1}{2}$FH×AD，S_△BDG=$\frac{1}{2}$BG×AD，
∴S_△BDG＞S_△ADF，
所以②错误；
∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ABF=∠ADG，
∵∠BAF=∠FBA，
∴∠BAF=∠ADG，
∵∠AFG=∠DFA，
∴△AFG∽△DFA，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF²=FG•FD，
所以③正确；
∵BF=EF，
∴BF²=FG•FD，
∴$\frac{BF}{FG}=\frac{FD}{BF}$，
∵∠BFG=∠DFB，
∴△BFG∽△DFB，
∴∠ABF=∠BDF，
∵由③知，∠ABF=∠ADF
∴∠ADF=∠BDF，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$（利用角平分线定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{BC}{AC}$，
所以④正确，
故选C．
方法二、连接CF，
设AC与BD的交点为点O，
∵点F是AE中点，
∴AF=EF，
∵CE=CA，
∴CF⊥AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠FBA，
∴∠FAC=∠FBD，
在△BDF和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{∠FAC=∠FBD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACF，
∴∠BFD=∠AFC=90°，
∴BF⊥DF，所以①正确；
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴点B、F、A、D四点在以BD为直径的圆上，
∵点F是直角三角形ABE的斜边AE的中点，
∴BF=AF=EF，
∴∠ADF=∠BDF，
∴S_△ADF=S_△BDF，
∵S_△BDG＜S_△BDF，
∴S_△ADF＞S_△BDG，∴②错误；
∵∠ADF=∠BDF，∠ADF=∠BDF，
∴∠AFG=∠AFG，
∴△AFG∽△DFA，
∴∴$\frac{AF}{FD}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=FG•FD，
∵EF=AF，
∴EF²=FG•FD，
所以③正确；
∵∠ADF=∠BDF，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{AD}{BD}$（利用角平分线定理），
∵BD=AC，AD=BC，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{BC}{AC}$，
所以④正确，
故选C．

附：角平分线定理：
如图，
∵AD是∠BAC的角平分线交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，
过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
∴∠BAD=∠E，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∵∠BAD=∠E，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角平分线定理，解本题的是△BDF≌△ACF．