Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-

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x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=

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2

x交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分别代入直线L₁，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；（2）设D（x，

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x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．

解答：解：（1）直线l1：y=-

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x+6，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：

y=- 1 2 x+6 y= 1 2 x

得：

x=6 y=3

，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．

（2）解：设D（x，

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2

x），
∵△COD的面积为12，
∴

1

2

×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：

6=b 2=4k+b

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=-x+6．

（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（-3，3）或(3

2

，-3

2

)．

点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．