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4.在平面直角坐标系中,第一个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4).延长CB交x轴于点A1,作第二个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第三个正方形A2B2C2C1,…,按这样的规律进行下去,第2016个正方形的面积为(  )
A.20×($\frac{3}{2}$)4030B.20×($\frac{3}{2}$)4032C.20×($\frac{3}{2}$)2016D.20×($\frac{3}{2}$)2015

分析 先求出正方形ABCD的边长和面积,再求出第一个正方形A1B1C1C的面积,得出规律,根据规律即可求出第2016个正方形的面积.

解答 解:∵点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),
∴OA=2,OD=4
∵∠AOD=90°,
∴AB=AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$,∠ODA+∠OAD=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,S正方形ABCD=$(2\sqrt{5})^{2}$=20,
∴∠ABA1=90°,∠OAD+∠BAA1=90°,
∴∠ODA=∠BAA1
∴△ABA1∽△DOA,
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$,即$\frac{B{A}_{1}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$,
∴BA1=$\sqrt{5}$,
∴CA1=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
∴正方形A1B1C1C的面积=$(\frac{3}{2}×\sqrt{20})^{2}$=20×$(\frac{3}{2})^{2}$…,第n个正方形的面积为$20×(\frac{3}{2})^{2n-2}$,
∴第2016个正方形的面积$20×(\frac{3}{2})^{4030}$.
故选A.

点评 本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质;通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键.

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