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已知:如图,⊙O的直径AD=2,,∠BAE=90度.
(1)求△CAD的面积;
(2)如果在这个圆形区域中,随机确定一个点P,那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少?

【答案】分析:(1)由直径对的圆周角是90°,得∠ACD=∠BAE=90°,由得∠BAC=∠CAD=∠DAE,
所以∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°,在Rt△ACD中,AD=2,CD=2sin30°=1,AC=2cos30°=,即S△ACD=AC×CD=
(2)连BD,作BF⊥AC,垂足为F,求得四边形ABCD的面积和圆的面积的比,根据概率的意义求得P点落在四边形ABCD区域的概率.
解答:解:(1)∵AD为⊙O的直径,
∴∠ACD=∠BAE=90°.

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE.
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°.
∵在Rt△ACD中,AD=2,CD=2sin30°=1,AC=2cos30°=
∴S△ACD=AC×CD=

(2)解法1:连BD,
∵∠ABD=90°,∠BAD=60°,
∴∠BDA=∠BCA=30°,
∴BA=BC.
作BF⊥AC,垂足为F,
∴AF=AC=
∴BF=AFtan30°=
∴S△ABC=AC×BF=
∴SABCD=
∵S⊙O=π,
∴P点落在四边形ABCD区域的概率==

(2)解法2:作CM⊥AD,垂足为M.
∵∠BCA=∠CAD(证明过程见解法1),
∴BC∥AD.
∴四边形ABCD为等腰梯形.
∵CM=ACsin30°=
∴SABCD=(BC+AD)CM=
∵S⊙O=π,
∴P点落在四边形ABCD区域的概率==
点评:本题利用了在圆中弧与弦的关系和直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及概率的概念求解.用到的知识点为:等弧所对的圆周角相等;概率=相应的面积与总面积之比.
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