Question

如图，已知?ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F

（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；

（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴

QF

PQ

=

CF

PD

，
∵DQ∥AE，∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，即

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴QF+PE=2PQ．