【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cos∠α=,下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8或;④0<CE≤6.4.其中正确的结论是_________.(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案】①②④
【解析】
①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明;②由BD=6,则DC=10,然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等,即可证得;③分两种情况讨论,通过三角形相似即可求得;④依据相似三角形对应边成比例即可求得.
解:①∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠ADE=∠B,
∴∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACD,故①正确;
②作AG⊥BC于G,
∵AB=AC=10,∠ADE=∠B=α,cosα=,
∴BG=ABcosB,
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16,
∵BD=6,
∴DC=10,
∴AB=DC,
在△ABD与△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(ASA),故②正确;
③当∠AED=90°时,由①可知:△ADE∽△ACD,
∴∠ADC=∠AED,
∵∠AED=90°,
∴∠ADC=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∴∠ADE=∠B=α且cosα=,AB=10,BD=8,
当∠CDE=90°时,易△CDE∽△BAD,
∵∠CDE=90°,
∴∠BAD=90°,
∵∠B=α且cosα=,AB=10,
∴cosB==,
∴BD=,故③错误;
④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16,
设BD=y,CE=x,
∴,
∴,
整理得:y216y+64=6410x,
即(y8)2=6410x,
∴0<x≤6.4,故④正确;
故答案为:①②④.
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【题目】小明为探究函数的图象和性质,需要画出函数图象,列表如下:
…… | …… | |||||||||||
…… | …… |
根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,画出函数图象,如图如示,小明画出了图象的一部分.
(1)请你帮小明画出完整的的图象;
(2)观察函数图象,请写出这个函数的两条性质:
性质一: ;
性质二: .
(3)利用上述图象,探究函数图象与直线的关系;
①当 时, 直线与函数在第一象限的图象有一个交点,则的坐标是 ;
②当为何值时,讨论函数的图象与直线的交点个数.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点,则四边形MNPQ是( )
A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点为,与轴的交点分别为,,且,直线轴,在轴上有一动点过点作平行于轴的直线与抛物线、直线的交点分别为、.
求抛物线的解析式;
当时,求面积的最大值;
当时,是否存在点,使以、、为顶点的三角形与相似?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小东同学根据函数的学习经验,对函数y 进行了探究,下面是他的探究过程:
(1)已知x=-3时 0;x=1 时 0,化简:
①当x<-3时,y=
②当-3≤x≤1时,y=
③当x>1时,y=
(2)在平面直角坐标系中画出y 的图像,根据图像,写出该函数的一条性质.
(3)根据上面的探究解决,下面问题:
已知A(a,0)是x轴上一动点,B(1,0),C(-3,0),则AB+AC的最小值是
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【题目】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
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【题目】在平面上,边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合,如图①,当正方形和矩形都水平放置时,容易求出重叠面积.
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式;
甲:矩形绕着几何中心旋转,从图②到图③的过程中,重叠面积大小不变.
乙:如图④,矩形绕着几何中心继续旋转,矩形的两条长边与正方形的对角线平行时,此时的重叠面积大于图③的重叠面积.
丙:如图⑤,将图④中的矩形向左上方平移,使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线,此时的重叠面积是个图形中最小的.
下列说法正确的是( )
A.甲、乙、丙都对B.只有乙对C.只有甲不对D.甲、乙、丙都不对
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B左侧)
(1)求抛物线的顶点坐标(用含的代数式表示);
(2)求线段AB的长;
(3)抛物线与轴交于点C(点C不与原点重合),若的面积始终小于的面积,求的取值范围.
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【题目】已知二次函数解析式为y=mx2﹣2mx+m﹣,二次函数与x轴交于A、B两点(B在A右侧),与y轴交于C点,二次函数顶点为M.已知∠OMB=90°.
①求顶点坐标.
②求二次函数解析式.
③N为线段BM中点,在二次函数的对称轴上是否存在一点P,使得∠PON=60°,若存在求出点P坐标,若不存在,请说明理由.
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