【题目】如图,抛物线的图象经过点,,,已知点的坐标为,点坐标为,点在轴的正半轴,且.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若直线从点开始沿轴向下平移,分别交轴、轴于点、.
①当时,在线段上否存在点,使得点,,构成等腰直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
②以动直线为对称轴,线段关于直线的对称线段与二次函数图象有交点,请直接写出的取值范围.
【答案】(1);
(2)①点P的坐标是(,)或(36,3)或(,); ②.
【解析】
(1)如图1,连结AC.在Rt△AOC中,∠CAB=30°,根据三角函数可得C(0,),根据待定系数法可求抛物线解析式;
(2)①由题意可知,OE=m,OD,∠DEO=30°,根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况:
(i)如图2,当PD⊥DE,DP=DE,作PQ⊥x轴;
(ii)如图3,当PE⊥DE,PE=DE,作PQ⊥y轴;
(iii)如图4,当DP⊥DE,DP=PE,作DM⊥AC,EN⊥AC;进行讨论可求点P的坐标;
②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面,并且与前面的直线平行,可求m的取值范围.
(1)如图1,连结AC.在Rt△AOC中,∠CAB=30°.
∵A(﹣3,0),即OA=3,
∴OC,即C(0,),
设抛物线解析式为,
将A(﹣3,0),B(1,0)代入得.
解得,
∴;
(2)①由题意可知,OE=m,OD,∠DEO=30°,
由A(﹣3,0),C(0,)得到直线AC的解析式为:yx
(i)如图2,当PD⊥DE,DP=DE,作PQ⊥x轴,
∴∠PQD=∠EOD=90°,∠PDQ+∠EDO=90°,∠EDO+∠DEO=90°,∴∠DEO=∠PDQ=30°,
在△DPQ与△EDO中,
,
∴△DPQ≌△EDO(AAS),
∴DQ=OE=m.
∵∠PAQ=∠PDQ=30°,
∴PA=PD,
∴AQ=DQ=m,
∴OA=2m3,
∴;
此时P(,)
(ii)如图3,当PE⊥DE,PE=DE,作PQ⊥y轴,
同理可得CQ=EQ=OD,
∵OC=m,
∴;
此时P(36,3)
(iii)如图4,当DP⊥PE,DP=PE,作DM⊥AC,EN⊥AC,
同理可得AP=AD,PN=DM,CN,
∴AC,
∴;
此时P(,).
综上所述:点P的坐标是(,)或(36,3)或
(,).
②当x=0,y时,0+m,解得:m;
当x=0,y时,0+m,解得:m.
故m的取值范围为:.
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【题目】如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,以点C为圆心,4为半径作圆.点D是⊙C上的一个动点,连接AD、BD,则AD+BD的最小值为__________.
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【题目】张老师计划通过步行锻炼身体,她用运动手环连续记录了6天的运动情况,并用统计表和统计图记录数据:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 | 4月6日 |
步行数(步) | 10672 | 4927 | 5543 | 6648 | ||
步行距离(公里) | 6.8 | 3.1 | 3.4 | 4.3 | ||
卡路里消耗(千卡) | 157 | 79 | 91 | 127 | ||
燃烧脂肪(克) | 20 | 10 | 12 | 16 |
(1)请你将手环记录的4月5日和4月6日的数据(如图①)填入表格
(2)请你将条形统计图(如图②)补充完整
(3)张老师这6天平均每天步行约______公里,张老师分析发现每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系,她打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡,那么每天步行距离大约至少为______公里(精确到0.1公里)
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【题目】在甲、乙两个不透明的布袋里,都装有3个大小、材质完全相同的小球,其中甲袋中的小球上分别标有数字0,1,2;乙袋中的小球上分别标有数字﹣1,﹣2,0.现从甲袋中任意摸出一个小球,记其标有的数字为x,再从乙袋中任意摸出一个小球,记其标有的数字为y,以此确定点M的坐标(x,y).
(1)请你用画树状图或列表的方法,写出点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=﹣的图象上的概率.
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【题目】为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况,随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查,已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同,利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表:
睡眠情况分段情况如下
组别 | 睡眠时间x(小时) |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)直接写出统计图中的值 ;
(Ⅱ)睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足,则从该校八、九年级各随机抽一名学生,被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大?
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【题目】随着交通道路的不断完善,带动了旅游业的发展,某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点,该市旅游部门统计绘制出2017年“五一”长假期间旅游情况统计图,根据以下信息解答下列问题:
(1)2017年“五一”期间,该市周边景点共接待游客 万人,扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ,并补全条形统计图.
(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势,预计2018年“五一”节将有80万游客选择该市旅游,请估计有多少万人会选择去E景点旅游?
(3)甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中,同时选择去同一景点的概率是多少?请用画树状图或列表法加以说明,并列举所用等可能的结果.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.
(1)当m=4时,求n的值;
(2)设m=﹣2,当﹣3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值;
(3)当﹣3≤x≤0时,若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4,求m、n的值.
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【题目】某公司种植和销售一种野山菌,已知该野山菌的成本是12元/千克,规定销售价格不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天该野山菌的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)的函数关系如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)求这一天销售野山菌获得的利润W的最大值.
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【题目】某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当销售该纪念品每天能获得利润2160元时,每件的销售价应为多少?
(2)当每件的销售价为多少时,销售该纪念品每天获得的利润最大?并求出最大利润.
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