如图.△ABC.是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高.BC=40cm.AD=30cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH.使它的一边EF在BC上.顶点G.H分别在AC.AB上.AD与HG的交点为M．(1)求证:$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$,(2)求这个矩形EFGH的周长,(3)是否存在一个实数a.当HE=a时从� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）求证：$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）求这个矩形EFGH的周长；
（3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由．

分析（1）由矩形的性质得HG∥EF，则可判断△AHG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设HE=x，HG=2x，由（1）的结论得到$\frac{30-x}{30}$=$\frac{2x}{40}$，然后根据比例性质可计算出x=12，再计算这个矩形EFGH的周长；
（3）当HE=a，由（1）的结论得到$\frac{30-a}{30}$=$\frac{HG}{40}$，则HG=-$\frac{4}{3}$a+30，根据矩形的面积公式得到S_矩形HEFG=-$\frac{4}{3}$a²+30a，然后利用二次函数的性质求解．

解答（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；
（2）解：设HE=x，HG=2x，
则$\frac{30-x}{30}$=$\frac{2x}{40}$，解得x=12，
∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）；
（3）存在．
当HE=a，则$\frac{30-a}{30}$=$\frac{HG}{40}$，
∴HG=-$\frac{4}{3}$a+30，
∴S_矩形HEFG=a（-$\frac{4}{3}$a+30）=-$\frac{4}{3}$a²+30a，
当a=-$\frac{30}{2×（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{45}{4}$时，S_矩形HEFG最大，
即当HE=$\frac{45}{4}$cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．

点评本题考查了相似三角形的应用：利用平行构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长．也考查了二次函数的最值．

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