Question

已知等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图1，且圆O的直径为10cm，求CD的长；
（2）若AP不过圆心O，如图2，PC=3cm，求PD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠BAC=60°，又AP过圆心O可得到AP平分∠CAB，AP为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACP=90°，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到CP=AP=×10=5（cm），利用圆周角定理可得到∠CAP=∠CBP，易证得△CAP≌△CBD，则CP=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CPD=∠CAB=60°，则△PCD为等边三角形，于是CD=PC=5cm；
（2）与（1）的证明方法一样可得到△PCD为等边三角形，则CD=PC=3cm．
解答：解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵AP过圆心O，
∴AP平分∠CAB，AP为直径，
∴∠CAP=30°，∠ACP=90°，
∴CP=AP=×10=5（cm），
在△CAP和△CBD中
∵，
∴△CAP≌△CBD，
∴CP=CD，
∵∠CPD=∠CAB=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴CD=PC=5cm；

（2）与（1）一样可证明得到△CAP≌△CBD，
则CP=CD，
∵∠CPD=∠CAB=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴CD=PC=3cm．
点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的性质在几何证明中也常用到．