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(2011•金东区模拟)在平面直角坐标系xOy中,
探究1:在x轴上有一点A(2,0),如图1
(1)如果线段OA绕原点O逆时针旋转90°,则线段OA所经过的扇形区域面积为

(2)如果在x轴上还有一点B(4,0),连接AB,求线段AB绕原点O逆时针旋转90°所经过的区域面积.
探究2:(1)若在x轴上有一点M(2,0),N(2,2),连接MN,求线段MN绕原点O逆时针旋转90°所经过区域的面积.小明解决这个问题时探究如下:①根据题目要求,画出所要求面积的图形2(实线部分);②发现两条曲线正好分别是点M、N绕原点逆时针转90°的两段弧线;③利用转化、割补思想把不规范图形转化为规范图形组合(注意虚线部分).
现请你写出解答过程.
(2)在坐标系xOy上有点P(2,2)、Q(2,4),若线段PQ绕原点O逆时针旋转90°,求线段PQ所经过的区域面积.
探究3:在坐标系xOy上有点R(2,0)、S(1,
3
),若线段RS绕原点O逆时针旋转90°,求线段RS所经过区域的面积(重复经过的区域面积不重复计算).
分析:探究1、(1)利用扇形的面积公式即可求解;
(2)利用扇形的面积公式求得半径是OB的扇形的面积,减去半径是OA的扇形的面积即可;
探究2、(1)利用扇形的面积公式,求出半径是ON和OM为半径的扇形的面积,求差即可;
(2)与(1)的解法相同;
探究3、首先求得OS,OR,SR的长,近而求得SR边上的高,然后利用(2)的方法求解.
解答:解:探究1.(1)OA=2,则线段OA所经过的扇形区域面积为:
90π×22
360
=π;
(2)OB经过的扇形的面积是:
90π×42
360
=4π,
则线段AB绕原点O逆时针旋转90°所经过的区域面积是4π-π=3π;
探究2.(1)OM=2,则OM所经过的扇形区域面积为:
90π×22
360
=π,
ON=
22+22
=2
2
,则ON所经过的扇形区域面积为:
90π×(2
2
)2
360
=2π,
则线段MN绕原点O逆时针旋转90°所经过区域的面积是:2π-π=π;
(2)OP=
22+22
=2
2
,则ON所经过的扇形区域面积为:
90π×(2
2
)2
360
=2π,
OQ=
22+42
=2
5
,则OQ所经过的扇形区域面积是:
90π×(2
5
)2
360
=5π,
则线段PQ所经过的区域面积是:5π-2π=3π;
探究3.OR=2,OS=
12+(
3
)2
=2,SR=
(2-1)2+(
3
)2
=2,
则OS=OR=SR,则△OSR是等边三角形,
则SR边上的高是:2×
3
2
=
3

则线段RS所经过区域的面积是:
90π×22
360
-
90π×(
3
)2
360
=π-
3
4
π=
π
4
点评:本题考查了扇形的面积公式以及图形的旋转,正确理解题意是关键.
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