Question

17．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+8与x轴交于点A（-6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S_△ADP：S_△CDE；
（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0求出y轴交点坐标；
（2）先确定出直线AC解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，设出点E的坐标，表示出点D（m，-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4），而点D在直线AC上，列出方程$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4，求出m，从而得出结论；
（3）先求出点P的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．

解答 解：（1）∵点A（-6，0）在抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+8上，
∴0=-$\frac{1}{3}$（-6）²+b（-6）+8，
∴b=-$\frac{2}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
令x=0，y=8，
∴C（0，8）
（2）设E（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8），
∴P（m，0），
∵点D为EP中点，
∴DP=DE，D（m，-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4），
∵A（-6，0），C（0，8），
∴直线AC解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∵点D在直线AC上，
∴$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4，
∴m=-6（舍）或m=-4，
∴P（-4，0）
∴AP=2，OP=4，
∴S_△ADP：S_△CDE=$\frac{\frac{1}{2}DE•AP}{\frac{1}{2}DP•OP}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为1：2
（3）存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，
连接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x轴，
∵EC∥x轴，
∴EP=CO=8，
把y=8代入y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
∴8=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
∴x=0（舍），或x=-2，
∴P（-2，0），
∴AP=AO-PO=4，
Ⅰ、如图1，

当∠AEG=90°时，
∴∠MEG+∠AEP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠MEG=∠EAP，
∵∠APE=∠EMG=90°，
∴△EMG∽△APE，
∴$\frac{EM}{AP}$=$\frac{MG}{EP}$，
设点G（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）（m＞0），
∴GN=MP=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8，
∴EM=EP-MP=8-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）=y=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m，
MG=PN=PO+ON=2+m，
∵$\frac{EM}{AP}$=$\frac{MG}{EP}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}}{4}$=$\frac{2+m}{8}$，
∴m=-2（舍）或m=$\frac{3}{2}$，
∴G（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；
Ⅱ、如图2，

当∠EAG=90°时，
∴∠NAG+∠EAP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠NAG=∠AEP，
∵∠APE=∠GNA=90°，
∴△GNA∽△APE，
∴$\frac{GN}{AP}$=$\frac{AN}{EP}$，
设点G（n，-$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n+8）（n＞0，-$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n+8＜0），
∴GN=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+8，
∴AN=AO+ON=6+n，
∵$\frac{GN}{AP}$=$\frac{AN}{EP}$
∴$\frac{\frac{1}{3}{n}^{2}+\frac{2}{3}n-8}{4}$=$\frac{6+n}{8}$
∴n=-6（舍），或n=$\frac{11}{2}$，
∴G（$\frac{11}{2}$，-$\frac{23}{4}$），
符合条件的G点的坐标为G（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）或G（$\frac{11}{2}$，-$\frac{23}{4}$），

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，判断三角形相似是解本题的关键．