Question

13．高铁的开通，给N市市民出行带来了极大的方便，“元旦”期间，甲、乙两人应邀到A市的艺术馆参加演出，甲乘私家车从N市出发1小时后，乙乘坐高铁从N市出发，先到A市火车站，然后再转乘出租车到A市的艺术馆（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达A市的艺术馆，他们离开N市的距离y（千米）与乘车时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？
（2）分别求甲、乙（乘坐高铁时）两人离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式；
（3）若甲要提前30分钟到达艺术馆，那么私家车的速度必须达到多少千米/小时？

Answer 1

分析 （1）根据速度=路程÷时间，即可求出高铁的平均速度；
（2）根据点（1，0）、（2.5，420），利用待定系数法即可求出乙离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式，将y=112代入该关系式中求出x值，由此即可得出两函数图象交点的坐标，再根据点（0，0）、（1.4，112），利用待定系数法即可求出甲离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式；
（3）将y=360代入y_甲=80x中，求出甲到达艺术馆的时间，再根据速度=路程÷时间，即可求出若甲要提前30分钟到达艺术馆的速度．

解答 解：（1）420÷（2.5-1）=280（千米/小时）．
答：高铁的平均速度是每小时280千米．
（2）设甲离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式为y_甲=kx+b（k≠0），乙离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式为y_乙=mx+n（m≠0），
将点（1，0）、（2.5，420）代入y_甲=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{2.5m+n=420}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=280}\\{n=-280}\end{array}\right.$，
∴乙离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式为y_乙=280x-280（1≤x≤2.5）．
当y_乙=112时，280x-280=112，
解得：x=1.4．
将（0，0）、（1.4，112）代入y_甲=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{1.4k+b=112}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=80}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴甲离开N市的距离y与乘车时间x的函数关系式为y_甲=80x．
（3）当y=80x=360时，x=4.5，
360÷（4.5-$\frac{30}{60}$）=90（千米/时）．
答：若甲要提前30分钟到达艺术馆，那么私家车的速度必须达到90千米/小时．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出甲到达艺术馆的时间．