Question

14．已如抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-$\frac{1}{2}$）和（m-b，m²-mb+n），其中a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）求证：抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点；
（3）当-1≤x≤1时，设抛物线y=ax²+bx+c与x轴距离最大的点为P（x₀，y₀），求这时|y₀|的最小值．

Answer 1

分析 （1）将（0，-$\frac{1}{2}$）代入抛物线y=ax²+bx+c中即可；
（2）先求n的值，再将点的坐标（m-b，m²-mb+n）代入y=ax²+bx+c中，计算△＞0即可；
（3）先根据公式分别求抛物线的对称轴和最小值，分四种情况进行讨论：
①当$-\frac{b}{2}$＜-1，即b＞2时，如图1，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y_o），
在x轴下方与x轴距离最大的点是（-1，y_o），代入抛物线的解析式中分别求|H|和|h|，作判断即可；
②当-1≤$-\frac{b}{2}$≤0，即0≤b≤2时，如图2，
③当0＜$-\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b＜0时，如图3，
④当1＜$-\frac{b}{2}$，即b＜-2时，如图4，
根据图象分别求其y₀的取值范围，可得结论．

解答 解：（1）∵（0，$-\frac{1}{2}$）在y=ax²+bx+c上，
∴$-\frac{1}{2}$=a×0²+b×0+c，
∴c=$-\frac{1}{2}$；
（2）又可得 n=$-\frac{1}{2}$，
∵点（m-b，m²-mb+n）在y=ax²+bx+c上，
∴m²-mb$-\frac{1}{2}$=a（m-b）²+b（m-b）$-\frac{1}{2}$，
∴（a-1）（m-b）²=0，
若（m-b）=0，则（m-b，m²-mb+n）与（0，$-\frac{1}{2}$）重合，与题意不合，
∴a=1，
∴抛物线y=ax²+bx+c，就是y=x²+bx-$\frac{1}{2}$，
△=b²-4ac=b²-4×（$-\frac{1}{2}$）=b²+2＞0，
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点；
（3）抛物线y=x²+bx$-\frac{1}{2}$的对称轴为x=$-\frac{b}{2}$，最小值为$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$，
设抛物线y=x²+bx$-\frac{1}{2}$在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h，
①当$-\frac{b}{2}$＜-1，即b＞2时，如图1，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y_o），
∴|H|=y_o=$\frac{1}{2}$+b＞$\frac{5}{2}$，
在x轴下方与x轴距离最大的点是（-1，y_o），
∴|h|=|y_o|=|$\frac{1}{2}$-b|=b-$\frac{1}{2}$＞$\frac{3}{2}$，
∴|H|＞|h|，
∴这时|y_o|的最小值大于$\frac{5}{2}$；
②当-1≤$-\frac{b}{2}$≤0，即0≤b≤2时，如图2，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y_o），
∴|H|=y_o=$\frac{1}{2}$+b≥$\frac{1}{2}$，当b=0时等号成立．
在x轴下方与x轴距离最大的点是 （$\frac{b}{2}$，$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$），
∴|h|=|$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$|=$\frac{{{b^2}+2}}{4}$≥$\frac{1}{2}$，当b=0时等号成立．
∴这时|y_o|的最小值等于$\frac{1}{2}$．
③当0＜$-\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b＜0时，如图3，在x轴上方与x轴距离最大的点是
（-1，y_o），
∴|H|=y_o=1+（-1）b-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{1}{2}$，在x轴下方与x轴距离最大的点是 （$-\frac{b}{2}$，$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$），
∴|h|=|y_o|=|$-\frac{{{b^2}+2}}{4}$|=$\frac{{{b^2}+2}}{4}$＞$\frac{1}{2}$．
∴这 时|y_o|的 最 小 值 大 于$\frac{1}{2}$．
④当1＜$-\frac{b}{2}$，即b＜-2时，如图4，在x轴上方与x轴距离最大的点是（-1，y_o），
∴|H|=$\frac{1}{2}$-b＞$\frac{5}{2}$，在x轴下方与x轴距离最大的点是（1，y_o），
∴|h|=|$\frac{1}{2}$+b|=-（b+$\frac{1}{2}$）＞$\frac{3}{2}$，
∴|H|＞|h|，
∴这时|y_o|的最小值大于$\frac{5}{2}$，
综上所述，当b=0，x₀=0时，这时|y_o|取最小值，为|y_o|=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是带有字母系数的二次函数的综合问题，此类问题有难度，考查了抛物线与x轴的交点问题、对称轴、最值问题，并利用了数形结合的思想，第三问能正确画出图形进行分类讨论是关键．