Question

25、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA²+PC²=PB²+PD²，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA²、PB²、PC²和PD²又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为

PA²+PC²=PB²+PD²

；
对图（3）的探究结论为

PA²+PC²=PB²+PD²

；
证明：如图（2）

Answer 1

分析：结论均是PA²+PC²=PB²+PD²，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等．
根据矩形和直角三角形的性质，（2）如果过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA²，PC²，PB²，PD²，然后我们可得出PA²+PC²与PB²+PD²，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，易证．

解答：解：结论均是PA²+PC²=PB²+PD²．
（1）如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA²=PM²+MA²，在Rt△BNP中，PB²=PN²+BN²，
在Rt△DMP中，PD²=DM²+PM²，在Rt△CNP中，PC²=PN²+NC²，
∴PA²+PC²=PM²+MA²+PN²+NC²，
PB²+PD²=PM²+DM²+BN²+PN²，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM²+MA²+PN²+NC²=PM²+DM²+BN²+PN²
即PA²+PC²=PB²+PD²．

（2）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA²=AO²+PO²，在Rt△PQB中，PB²=PQ²+QB²，
在Rt△POD中，PD²=DO²+PO²，在Rt△CQP中，PC²=PQ²+QC²，
∴PA²+PC²=PO²+OA²+PQ²+QC²，
PB²+PD²=PQ²+QB²+DO²+PO²，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评：本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法．