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25、已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.
答:对图(2)的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2

对图(3)的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2

证明:如图(2)
分析:结论均是PA2+PC2=PB2+PD2,其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等.
根据矩形和直角三角形的性质,(2)如果过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,可在Rt△AMP,Rt△BNP,Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2,PC2,PB2,PD2,然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2,我们不难得出四边形MNCD是矩形,于是,MD=NC,AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2
(3)如图(3)方法同(2),过点P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,易证.
解答:解:结论均是PA2+PC2=PB2+PD2
(1)如图2,过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,MN⊥AD,
∴MN⊥BC;
∵在Rt△AMP中,PA2=PM2+MA2,在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2
在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2,在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,
∴四边形MNCD是矩形,
∴MD=NC,同理AM=BN,
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2
即PA2+PC2=PB2+PD2

(2)如图3,过点P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,PQ⊥BC,
∴PQ⊥AD,
∵在Rt△AOP中,PA2=AO2+PO2,在Rt△PQB中,PB2=PQ2+QB2
在Rt△POD中,PD2=DO2+PO2,在Rt△CQP中,PC2=PQ2+QC2
∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2
PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2
∵PQ⊥AD,PQ⊥NC,DC⊥BC,
∴四边形OQCD是矩形,
∴OD=QC,同理AO=BQ,
∴PA2+PC2=PB2+PD2
点评:本题主要运用矩形和直角三角形的性质,考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法.
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科目:初中数学 来源: 题型:

已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S△PBC=S△PAC+S△PCD
理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.
∵S△PBC+S△PAD=
1
2
BC•PF+
1
2
AD•PE=
1
2
BC(PF+PE)=
1
2
BC•EF=
1
2
S矩形ABCD
又∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=
1
2
S矩形ABCD,∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD,∴S△PBC=S△PAC+S△PCD
请你参考上述信息,当点P分别在图2,图3中的位置时,S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给予证明.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知矩形ABCD和点P,当点P在边BC上任一位置(如图①所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2
以下请你探究:当P点分别在图②、图③中的位置时,即P在矩形ABCD的内部和外部时,线段PA2,PB2,PC2,PD2又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并证明图②(P在矩形ABCD的内部)的结论.

答:对图②的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2
,对图③的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S△PBC=S△PAC+

S△PCD   理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.

∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S矩形ABCD

又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

请你参考上述信息,当点P分别在图2、图3中的位置时,S△PBC、S△PAC、S△PCD

有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给

予证明.

 

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年辽宁大石桥市九年级中考模拟(四)数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S△PBC=S△PAC+

S△PCD   理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.

∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S矩形ABCD

又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

请你参考上述信息,当点P分别在图2、图3中的位置时,S△PBC、S△PAC、S△PCD

有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给

予证明.

 

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