Question

（1）完成下面的证明：
已知：如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
求证：∠EGF=90°．
证明：∵HG∥AB，（已知） 
∴∠1=∠3． （

两直线平行，内错角相等

 ）
又∵HG∥CD，（已知）
∴∠2=∠4．  （

两直线平行，内错角相等

）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+

∠EFD

=180°．（

两直线平行，同旁内角互补

）
又∵EG平分∠BEF，（已知）
∴∠1=

1

2

∠

BEH

．（

角平分线定义

）
又∵FG平分∠EFD，（已知）
∴∠2=

1

2

∠

EFD

．（

角平分线定义

）
∴∠1+∠2=

1

2

（

∠BEH

+

∠EFD

）．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3+∠4=90°．（

等量代换

）．即∠EGF=90°．
（2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？答：

∠B

；
小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，
①请你帮小明在图中画出这条高；
②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？答：a

∠ACD与∠BCD

；b

∠A与∠ACD

；c

∠B与∠BCD

．
③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并请说明理由．
（3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标为

（16，3）

，B₄的坐标为

（32，0）

．
②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△A_nB_n，则可知A_n的坐标为

（2ⁿ，3）

，B_n的坐标为

（2ⁿ⁺¹，0）

．
③可发现变换的过程中A、A₁、A₂、…、A_n纵坐标均为

3

．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质与判定，角平分线的定义，结合图形填空即可；
（2）利用三角尺的直角作出高线，然后根据直角三角形的两锐角互余的性质解答；
（3）观察发现，点A系列的横坐标是2的指数次幂，指数为脚码序号，纵坐标都是3；点B系列的横坐标是2的指数次幂，指数是脚码加1，纵坐标是0，根据此规律解答．

解答：解：（1）答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；∠EFD，两直线平行，同旁内角互补；BEH，角平分线定义；EFD，角平分线定义；∠BEH，∠EFD，等量关代换；

（2）①如图所示，∠B，

 ②a、∠ACD与∠BCD；b、∠A与∠ACD；c、∠B与∠BCD；
③∠BCD=∠A，∠ACD=∠B，
理由如下：∵∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；

（3）①（16，3）（32，0），②（2ⁿ，3）（2ⁿ⁺¹，0）③3．

点评：本题考查了平行线的性质与判定，利用三角尺作三角形的高线，直角三角形的两锐角互余的性质，以及坐标与图形规律的探讨，综合性较强，对同学们的能力要求较高，养成良好的学习习惯是解题的关键．