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已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.
(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;
(2)若m为整数,且抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴两交点间的距离为2,求抛物线的解析式;
(3)若直线y=x+b与(2)中的抛物线没有交点,求b的取值范围.

(1)证明:分两种情况讨论.
①当m=0时,方程为x-2=0,∴x=2,方程有实数根;
②当m≠0,则一元二次方程的根的判别式△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=(m+1)2
∴不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根;
综合①、②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.

(2)解:设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.
令y=0,则mx2-(3m-1)x+2m-2=0
由求根公式得,x1=2,
∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点(2,0).
∵|x1-x2|=2,
∴|2-x2|=2,
∴x2=0或x2=4,∴m=1或
当m=-时,y=-x2+2x-
把(2,0)代入,左边=右边,
m=-符合题意,
当m=1时,y=x2-2x,
把(2,0)代入,左边=右边,
m=1符合题意,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x-或y=x2-2x
答:抛物线解析式为y=-x2+2x-或y=x2-2x;

(3)解:①由
得x2-3x-b=0,
∴△=9+4b,
∵直线y=x+b与抛物线y=x2-2x没有交点,
∴△=9+4b<0,

∴当,直线y=x+b与(2)中的抛物线没有交点.

∴b的取值范围是b<-

-x2+2x-=x+b
x2-3x+(8+3b)=0,
∵直线y=x+b与抛物线y=-x2+2x-没有交点,
∴△=(-3)2-4×1×(8+3b)<0,
b>-
即b的取值范围是:b<-或b>-
分析:(1)分两种情况讨论.①当m=0时,方程为x-2=0求出方程的解x=2;②当m≠0,则得到一个一元二次方程,求出方程的根的判别式△=(m+1)2得出不论m为何实数,△≥0成立,即可得到答案;
(2)设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.求出方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0的解x1=2,,根据题意得出|2-x2|=2,求出x,x2=0或x2=4,进一步求出m即可;
(3)得出方程组①,②,根据一元二次方程的根的判别式求出b的范围即可.
点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数与x轴的交点,解二元一次方程组,根的判别式,根与系数的关系等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,题型较好,难度适中.
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