Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若m为整数，且抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；
（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．

Answer 1

（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；
②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²
∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；
综合①、②，可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．

（2）解：设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx²-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x₁=2，，
∴抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．
∵|x₁-x₂|=2，
∴|2-x₂|=2，
∴x₂=0或x₂=4，∴m=1或，
当m=-时，y=-x²+2x-，
把（2，0）代入，左边=右边，
m=-符合题意，
当m=1时，y=x²-2x，
把（2，0）代入，左边=右边，
m=1符合题意，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x-或y=x²-2x
答：抛物线解析式为y=-x²+2x-或y=x²-2x；

（3）解：①由，
得x²-3x-b=0，
∴△=9+4b，
∵直线y=x+b与抛物线y=x²-2x没有交点，
∴△=9+4b＜0，
∴
∴当，直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点．

∴b的取值范围是b＜-．
②，
-x²+2x-=x+b
x²-3x+（8+3b）=0，
∵直线y=x+b与抛物线y=-x²+2x-没有交点，
∴△=（-3）²-4×1×（8+3b）＜0，
b＞-，
即b的取值范围是：b＜-或b＞-．
分析：（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0求出方程的解x=2；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=（m+1）²得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，，根据题意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，进一步求出m即可；
（3）得出方程组①，②，根据一元二次方程的根的判别式求出b的范围即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．