Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．

（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；

（2）随着P点在AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，求CM的长度；若有变化，求CM的变化范围．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）

【解析】

（1）首先根据勾股定理的逆定理判断三角形ABC是直角三角形，然后根据三个角都是直角的四边形是矩形即可得解；

（2）CM的长度会改变．连接PC，证得四边形PECF是矩形，得到EF=PC，求出PC的范围，即可得到得到EF的范围，即可得到CM 的范围．

（1）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．

∵AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠ACB=90°．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°，∴四边形PECF是矩形；

（2）CM的长度会改变，理由是：

连接PC，由（1）证得四边形PECF是矩形，∴EF=PC．

过点C作CD⊥AB，此时CD=PC且PC最小，∴PC2.4．

∵点P是斜边AB上 （不与A、B重合），∴PC＜BC=4，∴PC的范围是2.4≤PC＜4，即EF的范围是2.4≤EF＜4．

∵M为EF的中点，∴CMEF，∴CM的范围是．