Question

20．在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²经过点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），其中x₁、x₂是方程x²-2x-8的两根，且x₁＜x₂，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）如图2，点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；
（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；
（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程x²-2x-8的两根，且x₁＜x₂，
∴x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，2），C（4，8）；

（2）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，2）在直线l上，
∴2=-2k+b，
∴b=2k+2，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²②，
联立①②化简得，x²-2kx-4k-4=0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△=（2k）²-4（-4k-4）=4k²+16k+16=4（k²+4k+4）=4（k+2）²=0，
∴k=-2，
∴b=2k+2=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x-2；
②平行于y轴的直线和抛物线y=$\frac{1}{2}$x²只有一个交点，
∵直线l过点A（-2，2），
∴直线l：x=-2；

（3）由（1）知，A（-2，2），C（4，8），
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设点B（m，m+4），
∵（4.8），
∴BC=$\sqrt{2}$|m-4|=$\sqrt{2}$（4-m）
∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，
∴D（m，$\frac{1}{2}$m²），E（m，-2m-2），
∴BD=m+4-$\frac{1}{2}$m²，BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，
∵DC∥EF，
∴△BDC∽△BEF，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BF}$，
∴$\frac{m+4-\frac{1}{2}{m}^{2}}{3m+6}=\frac{\sqrt{2}（4-m）}{BF}$，
∴BF=6$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了解一元二次方程，根的判别式，待定系数法，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出方程的解，解（2）的关键是利用一元二次方程根的判别式求出k的值，解（3）的关键是建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．