【题目】如图,顶点为A的抛物线y=a(x+2)2﹣4交x轴于点B(1,0),连接AB,过原点O作射线OM∥AB,过点A作AD∥x轴交OM于点D,点C为抛物线与x轴的另一个交点,连接CD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动,设点P运动的时间为t秒,问:当t为何值时,OB=AP;
(3)若动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接PQ.问:当t为何值时,四边形CDPQ的面积最小?并求此时PQ的长.
【答案】
(1)解:把(1,0)代入y=a(x+2)2﹣4,
得a= .
∴y= (x+2)2﹣4,
即y= x2+
x﹣
(2)解:由题意得OP=t,AB= =5,
若OB∥AP,即四边形ABOP为平行四边形时,OB=AP,且OP=AB=5,即当t=5时,OB=AP,
若OB不平行于AP,即四边形ABOP为等腰梯形时,OB=AP,连接AP,过点P作PG⊥AB,过点O作OH⊥AB,垂足分别为G、H,
∴△APG≌△BOH,
在Rt△OBM中,
∵OM= ,OB=1,
∴BM= ,
∴OH= ,
∴BH= ,
∴OP=GH=AB﹣2BH= ,
即当t= 时,OB=AP
(3)解:将y=0代入y= x2+
x﹣
,得
x2+
x﹣
=0,
解得x=1或﹣5.
∴C(﹣5,0).
∴OC=5,
∵OM∥AB,AD∥x轴,
∴四边形ABOD是平行四边形,
∴AD=OB=1,
∴点D的坐标是(﹣3,﹣4),
∴S△DOC= ×5×4=10,
过点P作PN⊥BC,垂足为N.易证△OPN∽△BOH,
∴ =
,
即 =
,
∴PN= t,
∴四边形CDPQ的面积S=S△DOC﹣S△OPQ=10﹣ ×(5﹣2t)×
t=
t2﹣2t+10,
∴当t= 时,四边形CDPQ的面积S最小,
此时,点P的坐标是(﹣ ,﹣1),点Q的坐标是(﹣
,0),
∴PQ= =
.
【解析】(1)把点B(1,0)代入抛物线的解析式,求出抛物线的解析式;(2)根据勾股定理求出AB的值,若OB∥AP,即四边形ABOP为平行四边形时,OB=AP,且OP=AB,当t=5时,OB=AP;若OB不平行于AP,即四边形ABOP为等腰梯形时,OB=AP,得到△APG≌△BOH,在Rt△OBM中,求出
BM,OH
,BH
的值,OP=GH=AB﹣2BH的值即可;(3)根据题意求出C的坐标,得到OC的值,由OM∥AB,AD∥x轴,得到四边形ABOD是平行四边形,AD=OB,求出点D的坐标,求出S△DOC的面积 ,证出△OPN∽△BOH,得到比例,求出PN的值,得到四边形CDPQ的面积S=S△DOC﹣S△OPQ,求出PQ的值;此题是综合题,难度较大,计算和解方程时需认真仔细.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把P1(y1,x1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为A2,点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4,,这样依次得到各点.若A2020的坐标为(3,2),设A1(x,y),则xy的值是( )
A.-5B.-1C.3D.5
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【题目】某校在艺术节宣传活动中,采用了四种宣传形式:A唱歌,B舞蹈,C朗诵,D器乐.全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动,小明对同学们选用的宣传形式,进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了如图两种不完整的统计图表:
选项 | 方式 | 百分比 |
A | 唱歌 | 35% |
B | 舞蹈 | a |
C | 朗诵 | 25% |
D | 器乐 | 30% |
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次调查的学生共人,a= , 并将条形统计图补充完整 ;
(2)如果该校学生有2000人,请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多少人?
(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、D四种宣传形式中,随机抽取两种进行展示,请用树状图或列表法,求某班抽到的两种形式有一种是“唱歌”的概率.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠ABC=90°,D为AC中点,点P是线段AD上的一点,点P与点A,点D不重合),连接BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连接A1B1、BB1
(1)如图①,当0°<α<90°,在α角变化过程中,请证明∠PAA1=∠PBB2 .
(2)如图②,直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E,F.设∠ABP=β,当90°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,当α=90°时,点E、F与点B重合.直线A1B与直线PB相交于点M,直线BB′与AC相交于点Q.若AB= ,设AP=x,求y关于x的函数关系式.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=EC,其中正确结论的序号是______.
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【题目】小红同学在做作业时,遇到这样一道几何题:
已知:AB∥CD∥EF,∠A=110°,∠ACE=100°,过点E作EH⊥EF,垂足为E,交CD于H点.
(1)依据题意,补全图形;
(2)求∠CEH的度数.
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路,就去请教好朋友小丽,小丽给了他如图2所示的提示:
请问小丽的提示中理由①是 ;
提示中②是: 度;
提示中③是: 度;
提示中④是: ,理由⑤是 .
提示中⑥是 度;
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【题目】在如下命题中:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)垂线段最短;(3)过一点有且只有一条直线与这条直线平行;(4)内错角相等;(5)平行于同一直线的两直线平行;(6)有两个角互余的三角形是直角三角形是真命题的有( )
A.个B.
个C.
个D.
个
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