Question

如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=，AB=4，CD=2．抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E是x轴上一点，且以E、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形．若过B点的直线把这个四边形的面积分成相等的两部分，求该直线的函数表达式；
（3）P是抛物线对称轴上一点，连接PB、PA，是否存在△PAC是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OB=（AB-CD）=×（4-2）=1，则 B（-1，0）；
∴OA=AB-OB=3，即 A（3，0）．
在Rt△OBC中，OC===3，则 C（0，3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入C点坐标，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）若以E、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
①当ECAD时，CD=AE=2，OE=OA-AE=1，则E（1，0），如图（2）-①；
取平行四边形的对角线交点F，则F（1.5，1.5）；
设直线BF的解析式为：y=kx+b，则：
，解得
∴该直线的函数表达式：y=x+；
②当ACDE，CD=AE=2，OE=OA+AE=5，则E（5，0），如图（2）-②；
取EC的中点G（2.5，1.5），同①可求得直线BG：y=x+；
综上，符合条件的直线有两条，且函数表达式为：y=x+或y=x+．

（3）假设存在符合条件的P点，分三种情况：
①以点A为直角顶点，AC、AP₁为直角边，如右图；
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，即∠OAC=45°；
∴∠MAP₁=45°，即△MAP₁也为等腰直角三角形，且MA=MP₁=2；
∴P₁（1，-2）；
②以C为直角顶点，AC、CP₂为直角边，如右图；
同①可求得△CP₂N、△CHN、△CP₂H都是等腰直角三角形，
∴P₂H=HN=CH=1，则P₂M=3+1=4，即P₂（1，4）．
③以AC为斜边，AP₃、CP₃为直角边，如右图；
设点P₃（1，m），则：
AP₃²=（1-3）²+（m-0）²=m²+4、CP₃²=（1-0）²+（m-3）²=m²-6m+10、AC²=25；
由勾股定理得：AP₃²+CP₃²=AC²，即：
m²+4+m²-6m+10=18，化简，得：m²-3m-2=0
解得：m=
∴P₃（1，）
综上，存在符合条件的P点，且坐标为：P（1，-2），（1，4），（1，），（1，）．
分析：（1）根据等腰梯形的性质以及AB、CD的线段长，先求出OB以及A、B点的坐标；在Rt△OBC中，BC、OB长已知，由勾股定理可求出OC的长，即可得到点C的坐标；在明确A、B、C三点坐标后，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式．
（2）由于点E在x轴上，若“以E、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形”，那么要分两种情况考虑：
①ECAD，此时AC为平行四边形的对角线；②ACED，此时EC为平行四边形的对角线．
若过B的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，那么该直线必过平行四边形对角线的交点，因此取对角线AC或EC的中点，结合B点坐标，即可求出经过这两点的直线的解析式．
（3）若△PAC是直角三角形，那么需要分三种情况考虑：①C为直角顶点、AC作直角边；②A为直角顶点、AC作直角边；③AC为斜边，以P作直角顶点．
点评：该题考查的内容较为复杂，涉及了函数解析式的确定、平行四边形的性质、图形面积的解法、直角三角形的判定、勾股定理的应用等重点知识；后两个小题需要考虑的情况较多，需要牢固掌握相关的基础知识，在解题过程中，要注意数形结合和分类讨论的数学思想．