Question

16．如图，矩形ABCD的对角线交于O点，延长CB至点E，使CE=AC，点F是AE的中点，连结BF、DF，且DF与AC交于P点．
（1）判断BF与DF的位置关系；
（2）若∠E=5∠FDB，试判断△DOC的形状；
（3）在（2）的条件下，求$\frac{AP}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）BF⊥DF，理由是：作辅助线，构建全等三角形，证明BF=FM，在等腰三角形BDM中，根据三线合一的性质得出结论；
（2）设∠FDB=x，则∠FBD=∠E=∠M=5x，在△MBD中根据三角形的内角和列方程求出x的值，得出△DOC是等边三角形；
（3）先证明△APQ是等边三角形得AP=AQ，设CD=x，则AC=2x，AD=$\sqrt{3}$x，根据同角的三角函数列比例式$\frac{BE}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，表示出AQ，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半表示出AF的长，最后计算比值即可．

解答 解：（1）BF⊥DF，理由是：
∵四边形ABCD为矩形，
∴MD∥BC，
∴∠M=∠EBF，∠MAF=∠AEB，
∵AF=EF，
∴△AFM∽△EFB，
∴AM=BE，BF=FM，
∵AD=BC，
∴AD+AM=BC+BE，
即DM=CE，
∵CE=AC，AC=BD，
∴BD=DM，
∵BF=FM，
∴BF⊥DF；
（2）在Rt△ABE中，
∵F是AE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=AF=EF，
∴AF=FE=BF=FM，
∴∠AMF=∠FAM=∠E=∠FBD，
设∠FDB=x，则∠FBD=∠E=∠M=5x，
在△MBD中得：5x+5x+2x=180，
∴x=15，
∴∠ADB=2x=30°，
∴∠ODC=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形；
∴∠CPD=∠PDC=∠PCD=60°，
∴∠APQ=60°，
∵AB∥CD，
∴∠QAP=∠PCD=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，
设CD=x，则AC=2x，AD=$\sqrt{3}$x，
∴BE=EC-BC=2x-$\sqrt{3}$x，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-\sqrt{3}x）^{2}}$=（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）x，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）x}{2}$，
∵AC=EC，
∴∠E=∠EAC=$\frac{180-30}{2}$=75°，
∴∠EAB=15°，
∴tan∠EAB=tan∠QDA，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{2x-\sqrt{3}x}{x}=\frac{AQ}{\sqrt{3}x}$，
∴AQ=（2$\sqrt{3}$-3）x
∴$\frac{AP}{AF}$=$\frac{AQ}{AF}$=$\frac{（2\sqrt{3}-3）x}{\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）x}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的三线合一的性质及直角三角形斜边中线的性质，综合性较强，但难度不大；尤其是等腰三角形角度的变化较多，要认真书写；在几何证明中，如果求两条线段的比值时，而已知中没有任何一边的长度时，可以设一边为x，将其它各边分别用x的式子表示，也可以相应求出比值．