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如图,在□ABDC中,分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP∥BC,交DC的延长线于点P.

(1)求证:△ABE≌△DCF;

(2)当∠P满足什么条件时,四边形BECF是菱形?证明你的结论.

 

【答案】

见解析

【解析】

试题分析:(1)因为ABCD是平行四边形,所以对角相等,对边相等。而E、F又是对边中点,利用“SAS”              即可证明△ABE≌△DCF

(2)∠P=90°时,四边形BECF是菱形。

要使四边形BECF是菱形,只要邻边相等即可,也就是说只要满足BE=EC即可,假设BE=EC,由于AE=EC,所以有AE=BE,BE=CE,所以∠ABE=∠BAE,∠EBC=∠ECB,而∠ABE+∠BAE+∠EBC+∠ ECB=180°(△ABC内角和).所以2∠ABE+2∠EBC=180°,所以∠ABE+∠EBC=90°,即∠ABC=90°,由于AB//CP,AP//BC,所以四边形BAPC是平行四边形,所以∠P=∠ABC=90º.

试题解析:

(1)证明:∵ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠D,AB=CD,BD=AC

∵E、F分别为AC,BD中点

∴AE=FD

在△ABE和△DCF中,

AB=CD,∠A=∠D,AE=FD

∴△ABE≌△DCF

(2)解:问题可知使四边形BECF是菱形,

∴BE=EC

又∵AE=EC

∴∠EBC=∠ECB

BE=AE

∴∠A=∠ABE

∵∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB=180º

∴2∠ABE+2∠EBC=180º

∴∠ABE+∠EBC=90º

∴∠ABC=90º

又∵AB//CP,AP//BC

∴四边形BAPC是平行四边形

∴∠P=∠ABC=90º

即∠P=90º时,四边形BECF是菱形

考点:1.平行四边形的性质;2.全等三角形的判定;3.菱形的性质.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,四边形ABDC中,点D在∠CAB的平分线上,要使图中的三角形ABD与三角形ACD全等,需要添加的最少条件是:
如AC=AB
如AC=AB
(填写一种即可)

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科目:初中数学 来源:2009年浙江省嵊州市普通高中提前招生考试数学试卷 题型:059

课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.

感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)问题解决:

受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF.

①求证:BE+CF>EF

②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明.

(3)问题拓展:

如图,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连结EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,四边形ABDC中,点D在∠CAB的平分线上,要使图中的三角形ABD与三角形ACD全等,需要添加的最少条件是:______(填写一种即可)
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科目:初中数学 来源:浙江省中考真题 题型:解答题

(1)阅读理解:
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 如图,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4。
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。
(2)问题解决:
受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF。
①求证:BE+CF>EF;
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明。
(3)问题拓展:
如图,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连结EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明。

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