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    【题目】如图,⊙O 是直角△ABC 的外接圆,∠ABC=90 ，AB=12，BC=5， 弦 BD=BA，BE 垂直 DC 的延长线于点 E，

    （1）求证：∠BCA=∠BAD.

    （2）求证：△ABC∽△DEB

    （3）求 DE 的长。

    【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) DE=

    【解析】

    根据题意之间角的关系进行转化可证明∠BCA=∠BAD，再根据三角形相似的判定定理证明△ABC∽△DEB，再根据第二问中结论可直接求得第三问.

    (1)证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA，∴∠BCA=∠BAD； (2)∵∠ABC=90 ，AB=12，BC=5，

    ∴AC==13，

    ∵∠BDE=∠CAB，而∠BED=∠CBA=90 ，∴△BED∽△CBA，

    （3）∵△BED∽△CBA

    ∴,即，∴DE=

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    【题目】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“快乐分式”.如：，则 是“快乐分式”．

    (1)下列式子中，属于“快乐分式”的是 （填序号）；

    ① ，② ，③ ，④ .

    （2）将“快乐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = .

    （3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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    【题目】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：

    (1)求A，C之间的距离．(参考数据≈4.6)

    (2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】下列步骤是一位同学在解方程＝3时的解答过程：

    方程两边都乘以x，得x﹣1+2＝3（第一步）

    移项，合并同类项，得x＝2（第二步）

    经检验，x＝2是原方程的解（第三步）

    所以原方程的解是：x＝2（第四步）

    （1）他的解答过程是从第　 　步开始出错的，出错原因是　 　；

    （2）请写出此题正确的解答过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】 如图,在 12×12 的正方形网格中,△TAB 的顶点分别为 T(1,1),A(2,3),B(4,2).

    (1)以点 T(1,1)为位似中心,按比例尺(TA′:TA)3:1 的位似中心的同侧将 TAB 放大为△TA′B′,放大后点 A,B 的对应点分别为 A′,B′,画出△TA′B′,并写出点 A′,B′的坐标；

    (2)在(1)中,若 C(a,b)为线段 AB 上任一点,写出变化后点 C 的对应点 C′的坐标。

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，∠ AOB＝90°，且点A，B分别在反比例函数（x＜0），（x＞0）的图象上，且k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根．

    （1）求k1，k2的值；

    （2）连接AB，求tan∠ OBA的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，且，以为原点建立平面直角坐标系，平行于轴的直线经过，请按要求解答下列问题.

    （1）画出关于直线的对称，并直接写出点的对称点的坐标；

    （2）求点到的距离；

    （3）在轴右侧的格点中找一点，使，并直接写出点的坐标.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．

    （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

    （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′．

    （1）如图1，当α=30°时，求证：B′C=DE；

    （2）连接B′E、DE′，当B′E=DE′时，请用图2求α的值；

    （3）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为　 　．

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