Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

（1）求证：BE=DG；
（2）若∠B=60°，当BC=AB时，四边形ABFG是菱形；
（3）若∠B=60°，当BC=AB时，四边形AECG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD．

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，

∴CG⊥AD．AE=CG

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵在Rt△ABE与Rt△CDG中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），

∴BE=DG．

（2）
（3）
【解析】（2）解：当BC= AB时，四边形ABFG是菱形．

证明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四边形ABFG是平行四边形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE= AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），

∵BE=CF，BC= AB，

∴EF= AB．

∴AB=BF．

∴四边形ABFG是菱形．

故答案是： ；（3）解：BC= AB时，四边形AECG是正方形．

∵AE⊥BC，GC⊥CB，

∴AE∥GC，∠AEC=90°，

∵AG∥CE，

∴四边形AECG是矩形，

当AE=EC时，矩形AECG是正方形，

∵∠B=60°，

∴EC=AE=ABsin60°= AB，BE= AB，

∴BC= AB．

故答案是： ．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．