Question

如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN//BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a。另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF//BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q。

（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；

（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置。

（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？

Answer 1

（1）可知四边形APDQ为平行四边形

证明：由题知△ABC≌△DEF  且△ABC

△DEF为等边三角形

∴∠BAC=∠EDF=60°

又∵EF//BC，MN//BC

∴EF//BC//MN

∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°

∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°

∴△DQN为等边三角形

∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD//AQ

∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP//DQ

∴四边形APDQ为平行四边形

（2）

∴当x取时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为

（3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形

理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON

所以△MPQ≌△QON

因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形。

所以可知四边形APDQ为菱形

由题可知，，而由（2）知