如图.在矩形ABCD中.AB=6cm.AD=8cm.连接BD.将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△MNP.且点P刚好落在BC的延长上.MP与CD相交于点E．将△MNP以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移.如图2.当点N移动到C点时停止移动．(1)求点M运动到BD所用的时间,(2)设△BCD与△MNP重叠部分的面积为y.移动的时间为t.请你直接写出y� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△MNP（N与B重合），且点P刚好落在BC的延长上，MP与CD相交于点E．将△MNP以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当点N移动到C点时停止移动．
（1）求点M运动到BD所用的时间；
（2）设△BCD与△MNP重叠部分的面积为y，移动的时间为t，请你直接写出y关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间t，使得△MNA成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的t的值；若不存在，请你说明理由．

分析（1）如图1中，过点M作MH⊥BC，垂直为H，作MK∥BC，交BD于点T，交CD于K，过T作TG⊥BC垂直为G．则四边形MHGT是矩形，求出MT的长，然后计算出点M运动到BD所用的时间．
（2）分三种情形讨论，①当0≤t≤1.4时，②当1.4＜t≤2.2时，③当2.2＜t≤4时分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，①当AN=NM时；②当AM=MN时；③当AN=AM时，根据勾股定理列方程即可．

解答解：（1）如图1中，过点M作MH⊥BC，垂直为H，作MK∥BC，交BD于点T，交CD于K，过T作TG⊥BC垂直为G．则四边形MHGT是矩形．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，∵AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
由旋转知∠MNP=∠ABD，MN=AB=6，NP=BD=10，
又∵∠MNP+∠NMH=90°，∠ABD+∠DNP=90°，
∴∠NMH=∠DNP．sin∠DNC=$\frac{DC}{DN}$=$\frac{3}{5}$=sin∠NMH=$\frac{NH}{BM}$，
∴NH=3.6，cos∠DNC=cos∠NMH=$\frac{NC}{BD}=\frac{MH}{NM}=\frac{8}{10}$，
∴MH=4.8=TG．
∵tan∠DNC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{TG}{NG}$，
∴NG=6.4，CG=TK=1.6，
∴HG=NG-NH=6.4-3.6=2.8=MT．
∴t=MT÷2=2.8÷2=1.4．
（2）①如图2中，当0≤t≤1.4时，重叠部分的面积就是五边形TNCGK面积，作TH⊥BC于H，KR⊥CD于R．

则BN=CP=2t，TH=CG=$\frac{3}{2}$t，DG=6-$\frac{3}{2}$t，KR=4-t，
∴y=S_△BDC-S_△BNT-S_△KDG=24-$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{2}$t）•（4-t）=-$\frac{9}{4}$t²+6t+12．
②如图3中，当1.4＜t≤2.2时，重叠部分的面积就是四边形MNCR面积，

y=S_△MNR-S_△PRC=24-$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{4}$t²+24．
③如图4中，当2.2＜t≤4时，重叠部分的面积就是△RNC面积，

y=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•$\frac{4}{3}$（8-2t）=$\frac{8}{3}$t²-$\frac{64}{3}$t+$\frac{128}{3}$．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}{t}^{2}+6t+12}&{（0≤t≤1.4）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+24}&{（1.4＜t≤2.2）}\\{\frac{8}{3}{t}^{2}-\frac{64}{3}t+\frac{128}{3}}&{（2.2＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）（3）①如图5中，当AN=NM时，x=0秒；

②如图6中，

当AM=MN时，MK=BH=BN+NH=2x+$\frac{18}{5}$，MH=BK=$\frac{24}{5}$，
∵AK²+MK²=36，
∴（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²=36，
解得：x=$\frac{6\sqrt{6}-9}{5}$秒，（x=$\frac{-6\sqrt{6}-9}{5}$舍去）；
③如图6，当AN=AM时，MK=BH=BN+NH=2x+$\frac{18}{5}$，MH=KB=$\frac{24}{5}$，
∵AB²+BN²=AK²+MK²
∴36+4x²=（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²
解得：x=$\frac{3}{2}$秒．
综上所述，使得△AMN成为等腰三角形的x的值有：0秒或$\frac{3}{2}$秒或$\frac{6\sqrt{6}-9}{5}$秒．

点评本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换、矩形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是分三种情形正确画出图形，学会分割法求多边形面积，学会用方程的思想解决问题，注意考虑问题要全面，属于中考压轴题．

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