Question

25、如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和是180度，和题中给出的角的度数，可求得各角的度数，从而得出AD=BD=BC．
（2）利用三角形的相似来证明点D是线段AC的黄金分割点．

解答：证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD²=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．

点评：（1）考查了等腰三角形的判定；
（2）考查了学生黄金分割点的证明，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（$frac{sqrt{5}-1}{2}$）叫做黄金比．