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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标精英家教网为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC，
    （1）求点B的坐标；
    （2）点P从C点出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OC，交折线C-B-O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10），
    ①是否存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
    320
    ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
    ②以P为圆心，PC长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．
    分析：（1）根据已知，B点的纵坐标等于A点的纵坐标．OC=OB可知A、B在以坐标原点O为圆心，以OC长为半径的圆上，即可得出B点坐标；
    （2）①首先根据已知条件，求出OB的一次函数解析式．进而确定出P点、H点的坐标．分别用t表示△OPH与△OBC的面积，再根据已知条件△OPH的面积等于△OBC面积的
    3
    20
    ，列出关于t的一元一次方程式．解方程即可求出t的值．
    ②首先确定B点、P点的坐标．再根据△OBP分别以OP、OB为底边的面积求法，列出关于t的等量关系式，解t即可．
    解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0）
    ∴对B点，
    y=8
    x2+y2=102 
    ，
    解得
    x=6
    y=8
    ；
    ∴B（6，8）；

    （2）①分为两种情况：如图1，精英家教网

    CP=t，OP=10-t，
    设直线CB的解析式是y=kx+b，
    C（10，0）B（8，6）代入得：
    0=10k+b
    6=8k+b
    ，
    解得：k=-3，b=30，
    ∴y=-3x+30，
    把x=10-t代入得：y=-3（10-t）+30=3t，
    ∴PH=3t，
    即S△OPH=
    1
    2
    OP•PH=
    1
    2
    ×（10-t）×3t，
    假如存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
    3
    20
    ，
    ∴
    1
    2
    ×（10-t）×3t=
    1
    2
    ×8×10
    3t2-30t+80=0，
    b2-4ac=900-960＜0，
    此方程无解，
    即此时不存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
    3
    20
    ；
    如图2，精英家教网
    由（1）可知，正比例函数OB的解析式是y=
    4
    3
    x    ，
    OP=10-t，
    把x=10-t代入y=
    4
    3
    x得：y=
    4
    3
    （10-t）=
    40-4t
    3
    ，
    即PH=
    40-4t
    3
    ，
    S△OPH=
    1
    2
    OP•PH=
    1
    2
    ×（10-t）×
    4
    3
    （10-t）=
    2
    3
    （10-t）2，
    S△OBC =
    1
    2
    OC•OA    =
    1
    2
    ×10×8    =40，
    假设存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
    3
    20
    ，
    即：
    2
    3
    （10-t）2=
    3
    20
    ×40．
    解得t=7，经检验符合题意，
    所以存在某个时刻，使△OPH的面积等于△OBC面积的
    3
    20
    ，此时t=7；

    ②第一种情况：如图2，连接PB，OB与圆P相切，切点为K，PC=t，
    由（1）知B点的坐标为（6，8），
    OB=
    		62+82
    =10，
    P点的坐标为（10-t，0），
    对△OBP，S△OBP=
    1
    2
    OP•OA=
    1
    2
    OB•PK    ，即（10-t）×8=10×PK，
    ∴PK=
    4
    5
    (10-t)    ，精英家教网
    又∵PK、PC均为⊙P的半径，
    ∴PK=PC，即
    4
    5
    (10-t)    =t，
    解得t=
    40
    9
    ．
    所以，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，t=
    40
    9
    ．
    第二种情况：当t=10时，P和O重合，此时PB=PC，即B在⊙P上、O在⊙P内，且⊙P和OB只有一个交点B；
    当t=5时，O在⊙P上，当t＞5时，O在⊙P内，
    ∴当5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点；
    即当t=
    40
    9
    或5＜t≤10时，⊙P和OB只有一个交点．
    点评：本题考查了直线与圆的位置关系、三角形面积的计算．解决①的关键是根据已知条件及三角形的面积列出关于t的一元一次方程式，进而得出结果；解决②的关键是将计算长度转化为同一三角形从不同角度来看面积的计算，进而求出未知长度．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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