【题目】如图,边长为的正方形的边在轴负半轴上,点在第三象限内,点的坐标为,经过点的抛物线交轴于点,其顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若轴左侧抛物线上一点关于轴的对称点恰好落在直线上,求点的坐标;
(3)连接,,,请你探究在轴左侧的抛物线上,是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在,或
【解析】
(1)本题考查二次函数解析式的求法,利用待定系数法求解即可.
(2)本题考查点关于直线的对称、二次函数以及一次函数的性质,利用待定系数法求解一次函数解析式,并假设未知数表示未知点的坐标,将其带入列方程求解.
(3)本题考查二次函数动点存在性问题,需要采取分类讨论的方式,利用相似三角形的判定以及性质求解本题.
(1)依题意得,,将A,C两点代入二次函数解析式得:
,
∴
(2)由二次函数解析式可知M(-3,-4),设直线MC解析式为y=kx+b
将M,C点代入一次函数解析式得:
设点,则在直线上.
,,
点 的坐标为或.
(3)存在点满足条件,
作轴,轴,垂足分别为,
依题意易知,,,,,.
①当点在点的右侧时,如下图所示
,,
,,
,
,
,,解得,(舍去)
则,故点.
②当点在点的左侧时,如下图所示
同①可证,
,,解得,(舍去)
则,故点.
综上所述,存点或,使.
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【题目】如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若过原点的直线与直线分别交抛物线于点、,
①当时,试求的面积;
②试证明:不论实数取何值,直线总是经过一定点.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
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【题目】为了了解班级学生数学课前预习的具体情况,郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查,他将调查结果分为四类:A:很好;B:较好;C:一般;D:不达标,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)C类女生有 名,D类男生有 名,将上面条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ;
(3)为了共同进步,郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率,
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【题目】抛物线经过点,且对称轴为直线,其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论:①;②;③;④若,则时的函数值小于时的函数值其中正确结论的个数是( )
A.B.C.D.
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【题目】某部门为新的生产线研发了一款机器人,为了解它的操作技能情况,在相同条件下与人工操作进行了抽样对比.过程如下,请补充完整.收集数据对同一个生产动作,机器人和人工各操作10次,测试成绩(十分制)如下:
整理、描述数据按如下分段整理、描述这两组样本数据:
(说明:成绩在9.0分及以上为操作技能优秀,8≤r<9分为操作技能良好,6≤r<8分为操作技能合格,6.0分以下为操作技能不合格)
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示:
得出结论:
(1)请结合数据分析写出机器人在操作技能方面两条优点:
(2)如果生产出一个产品,需要完成同样的操作200次,估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为多少?
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【题目】某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售,进价和售价如下表所示:
运动服款式 | 甲 | 乙 |
进价(元/套) | 80 | 100 |
售价(元/套) | 120 | 160 |
若购进两种款式的运动服共300套,且投入资金不超过26800元.
(1) 该服装店应购进甲款运动服至少多少套?
(2)若服装店购进甲款运动服的进价每套降低a元,并保持这两款运动服的售价不变,且最多购进240套甲款运动服.如果这批运动服售出后,服装店刚好获利18480元,求a的取值范围.
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【题目】为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动,已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
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【题目】如图,一次函数的图象分别交x轴、y轴于C,D两点,交反比例函数图象于A(,4),B(3,m)两点.
(1)求直线CD的表达式;
(2)点E是线段OD上一点,若,求E点的坐标;
(3)请你根据图象直接写出不等式的解集.
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