Question

5．已知：如图，抛物线y=x²-2x-3交x轴于A（-1，0），B两点，交y轴的负半轴于点C，若Q是抛物线对称轴上一点，且∠QBC=∠ACO，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 设对称轴与x轴于交于点F，与BC交于点D，然后根据抛物线的解析式求出A、B、C、F、D，由于点Q的位置不确定，所以分点Q在BC上方和点Q在BC下方两种情况进行讨论，然后根据勾股定理求出QF的长度即可．

解答 解：设对称轴与x轴交于点F，与BC交于点D，
令y=0代入y=x²-2x-3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0代入y=x²-2x-3，
∴y=-3，
∴C（0，-3）
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∵∠QBC=∠ACO，
∴tan∠QBC=tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
抛物线对称轴为x=1，
∴BF=DF=2，
∴由勾股定理可知：BD=2$\sqrt{2}$，
当Q在BC上方时，
过点Q作QH⊥BC于点H，
设QH=x，BH=3x，
∵∠FDB=45°，
∴QH=DH=x，
∴BD=4x，
∴4x=2$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴QD=$\sqrt{2}$x=1，
∴QF=1
∴Q（1，-1）
当Q在BC下方时，
过点D作DE⊥BQ于点E，
设DE=x，BE=3x，
在Rt△DEB中，
由勾股定理可知：x²+9x²=8，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
设DQ=a，
∵∠DQE=∠BQF，
∴△DQE∽△BQF，
∴$\frac{DE}{DQ}=\frac{BF}{QB}$，
∴QB=$\sqrt{5}$a，
在Rt△FQB中，
∴（2+a）²+2²=（$\sqrt{5}$a）²，
∴解得：a=2或a=-1，
∴FQ=4，
∴Q（1，-4）
综上所述，Q（1，-1）或（1，-4）

点评 本题考查抛物线的综合问题，设计勾股定理，相似三角形的性质与判定，解方程，等腰直角三角形的性质，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．