Question

2．已知一次函数y=$\frac{3}{4}$x的图象与二次函数y=ax²-4ax+c（a≠0）的图交于点A、B（其中点A在点B的左侧），且与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）试求点C的坐标．
（2）设二次函数图象的顶点为D，分别求点D满足下列条件时二次函数的关系式；
①点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3；
②CD=AC，且△ACD的面积等于10．

Answer 1

分析 （1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=$\frac{3}{4}$x的交点，即点C的坐标；
（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，$\frac{3}{4}$m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；
②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，$\frac{3}{4}$m），由S_△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+c=a（x-2）²-4a+c，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=$\frac{3}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
故点C（2，$\frac{3}{2}$）；

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（2，-$\frac{3}{2}$，），
∴CD=3，
设A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
由S_△ACD=3得：$\frac{1}{2}$×3×（2-m）=3，
解得m=0，
∴A（0，0）．
由A（0，0）、D（2，-$\frac{3}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-4a+c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{8}$，c=0．
∴y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$ x；
②设A（m，$\frac{3}{4}$m）（m＜2），
过点A作AE⊥CD于E，则AE=2-m，CE=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$m，
AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-m）^{2}+（\frac{3}{2}-\frac{3}{4}m）^{2}}$=$\frac{5}{4}$（2-m），
∵CD=AC，
∴CD=$\frac{5}{4}$（2-m），
由S_△ACD=10得 $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$（2-m）²=10，
解得：m=-2或m=6（舍去），
∴m=-2，
∴A（-2，-$\frac{3}{2}$），CD=5，
当a＞0时，则点D在点C下方，
∴D（2，-$\frac{7}{2}$），
由A（-2，-$\frac{3}{2}$）、D（2，-$\frac{7}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{12a+c=-\frac{3}{2}}\\{-4a+c=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x-3；
当a＜0时，则点D在点C上方，
∴D（2，$\frac{13}{2}$），
由A（-2，-$\frac{3}{2}$）、D（2，$\frac{13}{2}$）得：$\left\{\begin{array}{l}{12a+c=-\frac{3}{2}}\\{-4a+c=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．