在正方形ABCD和正方形DEFG中.顶点B.D.F在同一直线上.H是BF的中点．(1)如图1.若AB=1.DG=2.求BH的长,(2)如图2.连接AH.GH．小宇观察图2.提出猜想:AH=GH.AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流.通过讨论.形成了证明该猜想的几种想法:想法1:延长AH交EF于点M.连接AG.GM.要证明结论成立只需证△GAM是等腰直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；
（2）如图2，连接AH，GH．
小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；
想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．
…
请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

分析（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
证法二、先判断出MN=$\frac{1}{2}$BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出结论．

解答（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB=1，DG=2，
∴由勾股定理得BD=$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{2}$．
∵B、D、F共线，
∴BF=3$\sqrt{2}$．
∵H是BF的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

（2）证法一：
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH=∠MFH．
又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH=MH，AB=MF．
∵AB=AD，
∴AD=MF．
∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．
又∵∠DGM+∠MGF=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH=MH，
∴AH=GH，AH⊥GH．

证法二：
如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=$\frac{1}{2}$BD，DN=$\frac{1}{2}$DF．
∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=$\frac{1}{2}$BF．
∵H是BF的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF．
∴BH=MN．
∴BH-MH=MN-MH．
∴BM=HN．
∵AM=BM=DM，
∴AM=HN=DM．
∴MD+DH=NH+DH．
∴MH=DN．
∵DN=GN，
∴MH=GN．
∴△AMH≌△HNG．
∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．
∵∠HGN+∠GHN=90°，
∴∠AHM+∠GHN=90°．
∴∠AHG=90°．
∴AH⊥GH．
∴AH=GH，AH⊥GH．

点评此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH和△AMH≌△HNG；是一道中等难度的中考常考题．

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