在正方形ABCD和正方形DEFG中.顶点B.D.F在同一直线上.H是BF的中点．(1)如图1.若AB=1.DG=2.求BH的长,(2)如图2.连接AH.GH．小宇观察图2.提出猜想:AH=GH.AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流.通过讨论.形成了证明该猜想的几种想法:想法1:延长AH交EF于点M.连接AG.GM.要证明结论成立只需证△GAM是等腰直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

14．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；
（2）如图2，连接AH，GH．
小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；
想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．
…
请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

分析（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
证法二、先判断出MN=$\frac{1}{2}$BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出结论．

解答（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB=1，DG=2，
∴由勾股定理得BD=$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{2}$．
∵B、D、F共线，
∴BF=3$\sqrt{2}$．
∵H是BF的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

（2）证法一：
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH=∠MFH．
又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH=MH，AB=MF．
∵AB=AD，
∴AD=MF．
∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．
又∵∠DGM+∠MGF=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH=MH，
∴AH=GH，AH⊥GH．

证法二：
如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=$\frac{1}{2}$BD，DN=$\frac{1}{2}$DF．
∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=$\frac{1}{2}$BF．
∵H是BF的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF．
∴BH=MN．
∴BH-MH=MN-MH．
∴BM=HN．
∵AM=BM=DM，
∴AM=HN=DM．
∴MD+DH=NH+DH．
∴MH=DN．
∵DN=GN，
∴MH=GN．
∴△AMH≌△HNG．
∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．
∵∠HGN+∠GHN=90°，
∴∠AHM+∠GHN=90°．
∴∠AHG=90°．
∴AH⊥GH．
∴AH=GH，AH⊥GH．

点评此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH和△AMH≌△HNG；是一道中等难度的中考常考题．

练习册系列答案

钟书金牌寒假作业延边人民出版社系列答案

钟书金牌快乐假期寒假作业吉林教育出版社系列答案

智趣寒假作业云南科技出版社系列答案

智多星快乐寒假新疆美术摄影出版社系列答案

志鸿优化系列丛书寒假作业系列答案

芝麻开花寒假作业江西教育出版社系列答案

长江作业本寒假作业湖北教育出版社系列答案

长江寒假作业崇文书局系列答案

悦文图书高考必赢系列丛书快乐寒假延边人民出版社系列答案

寒假作业海燕出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．某商店经销一种旅游纪念品，3月份的营业额为18000元，4月份正逢29届中国洛阳牡丹文化节，为扩大销售量，该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加300件，营业额增加9000元．
（1）求该种纪念品3月份的销售价格；
（2）若3月份销售这种纪念品获利6750元，4月份销售这种纪念品获利多少元？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

5．

阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的对称中心的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P₁（0，-1）、P₂（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；
（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P₁处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P₁关于点A的对称点P₂处，接着跳到点P₂关于点B的对称点P₃处，第三次再跳到点P₃关于点C的对称点P₄处，第四次再跳到点P₄关于点A的对称点P₅处，…则点P₃、P₈的坐标分别为（-5.2，1.2）、（2，3）．
拓展延伸：
（3）求出点P₂₀₁₇的坐标，并直接写出在x轴上与点P₂₀₁₇，点C构成等腰三角形的点的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），点C（-6，12），点P是y轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A逆时针方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．