Question

3．将二次函数y=x²-1的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，这样就形成了新的图象，当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是1＜m＜$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先确定抛物线y=x²-1的顶点坐标为（0，-1）和抛物线y=x²-1与x轴的交点为（-1，0），（1，0），画出抛物线，然后把抛物线y=x²-1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-x²+1（-1≤x≤1），有图象可得当直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，易得对应的m的值为1；当直线y=x+m与抛物线y=-x²+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即-x²+1=x+m有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时m的值，进而得到直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围．

解答 解：∵y=x²-1，
∴抛物线y=x²-1的顶点坐标为（0，-1），
当y=0时，x²-1=0，解得x₁=-1，x₂=1，则抛物线y=x²-1与x轴的交点为（-1，0），（1，0），
把抛物线y=x²-1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-x²+1（-1≤x≤1），
如图，

把直线y=x向上平移，当平移后的直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，所以-1+m=0，解得m=1；
当直线y=x+m与抛物线y=-x²+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即-x²+1=x+m有相等的实数解，整理得x²+x+m-1=0，△=1²-4（m-1）=0，解得m=$\frac{5}{4}$，
所以当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是1＜m＜$\frac{5}{4}$．
故答案为1＜m＜$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．