Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

．CD与y轴交于点E，且S_△COE=S_△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．

Answer 1

分析：首先利用锐角三角函数的关系得出AB的长，再利用勾股定理求出BO的长，再利用S_△CDB=S_△ABO得出DN的长，进而利用平行线的性质得出E点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可．

解答：解：过点D作DN⊥BC，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵sin∠ABC=

4

5

，AO=8，
∴sin∠ABC=

AO

AB

=

8

AB

=

4

5

，
∴AB=10，
BO=

102-82

=6，
∴B点坐标为：（6，0），C点坐标为：（-6，0），
∵S_△COE=S_△ADE，
∴S_△CDB=S_△ABO，
∴DN×BC=AO×BO，
∴DN=

AO•BO

BC

=

8×6

12

=4，
∵ND∥AO，
∴

DN

AO

=

NB

BO

=

1

2

，
∴NO=NB=3，
∴

EO

ND

=

CO

CN

，
∴

EO

4

=

6

9

，
解得：EO=

8

3

，
∴E点坐标为：（0，-

8

3

），
∵经过B，C，E三点的图象对称轴为y轴，
∴经过B，C，E三点的解析式为：y=ax²+c，
将E点坐标为：（0，-

8

3

），B点坐标为：（6，0）代入解析式得：

c=- 8 3 36a+c=0

，
解得：

a= 2 27 c= - 8 3

，
∴这条抛物线对应的二次函数的解析式为：y=

2

27

x²-

8

3

．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的计算、平行线的性质、待定系数法求二次函数解析式等知识，根据平行线的性质得出E点坐标是解题关键．