Question

【题目】某班兴趣小组对函数y＝﹣x2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x	…	﹣3		﹣2	﹣1	0	1	2		3	…
y	…	﹣3		0	1	0	1	0		﹣3	…

（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；

（2）观察函数图象，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是　 　；

（3）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有　 　个实数根；

②方程﹣x2+2|x|＝﹣1有　 　个实数根；

③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则n的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）﹣1＜x＜0，x＞1；（3）①3，3；②2；③0＜n＜1

【解析】

（1）根据函数的对称性补充图象如图所示；

（2）观察图象，从左到右下降的图象上点的横坐标x的取值范围即为所求；

（3）①观察图象，即可求解；②函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数即为方程﹣x2+2|x|＝﹣1实数解得个数；③结合图象，当直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，n范围即为所求．

解：（1）补充图象另一部分如下：

（2）从图象看，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是：﹣1＜x＜0，x＞1；

故答案是：﹣1＜x＜0，x＞1；

（3）从图象看①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程﹣x2+2|x|＝0有3个实数根；

②从图象上看，函数y＝﹣x2+2|x|的图象与直线y=-1的交点个数是2个，故方程﹣x2+2|x|＝﹣1有2个实数根；

③若关于x的方程﹣x2+2|x|＝n有4个实数根，则直线y=n与函数y＝﹣x2+2|x|的图象有四个交点时，由图可知，n的取值范围是0＜n＜1，

故答案为：3，3；2；0＜n＜1．