Question

【题目】（1）如图，矩形ABCD的对角线长为a，对角线与一边的夹角为α（α≤45°），则CD＝　 　（用α的三角函数和a来表示），S△BCD＝　 　（用α的三角函数和a来表示）＝　 　（用2α的三角函数和a来表示）；

（2）猜想并直接写出sin2α，sinα，cosα之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据锐角三角函数，可以用α的三角函数和a来表示出CD，然后根据三角形的面积公式和锐角三角函数可以表示出S△BCD，本题得以解决；

（2）先写出sin2α，sinα，cosα之间的数量关系，然后根据（1）中S△BCD的结果，可以说明这个数量关系为什么成立．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∠DBC＝α，AC＝a，

∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD＝a，BD＝a，

∴CD＝asinα，BC＝acosα，

∴S△BCD＝BCCD＝×acosα×asinα＝a2sinαcosα，

作CE⊥BD于点E，

∵OB＝OC，∠OBC＝α，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠EOC＝2α，

∴EC＝OCsin2α＝asin2α，

∴S△BCD＝BDCE＝aasin2α＝a2sin2α，

故答案为：asinα，a2sinαcosα，a2sin2α；

（2）sin2α＝2sinαcosα，

理由：∵S△BCD＝a2sinαcosα，S△BCD＝a2sin2α，

∴a2sinαcosα＝a2sin2α，

∴sin2α＝2sinαcosα．