Question

5．如图1，已知在等边△ABC中，当点D在BC边上，点E在AC边上，且BD=CE，连接AD、BE，交于点F．（等边三角形3条边相等，每个角都是60°）
（1）求证：∠AFE=∠ABD．
（2）如图2，当点D在BC的延长线上，点E在CA的延长线上，而其它条件不变时，∠AFE与∠ABD又有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上．而其它条件不变时，∠AFE与∠ABD又有怎样的数量关系？请直接写出关系，不必证明．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质，得出AB=BC，∠ABD=∠C，再根据SAS判定△ABD≌△BCE，即可得出∠BAD=∠CBE，最后根据全等三角形的性质以及三角形的外角性质，即可得出结论；
（2）先根据等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，证明△ECB与△DBA全等，得出∠EBC=∠DAB，再根据三角形内角和等于180°，求出∠AFE=120°，而∠ABD=60°，进而得到∠AFE=2∠ABD；
（3）先根据等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，证明△ECB与△DBA全等，得出∠E=∠D，再根据三角形外角性质，求出∠AFE=60°，而∠ABD=120°，进而得到2∠AFE=∠ABD．

解答 （1）证明：如图1，∵等边△ABC中，3条边相等，每个角都是60°，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠ABD=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠ABF+∠BAD=∠AFE，
∴∠CBE+∠ABF=∠AFE，
即∠AFE=∠ABD；

（2）∠AFE=2∠ABD．
证明：如图2，在等边三角形ABC中，AB=BC，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，而BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠ABD=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DAB，
∵在△ABD中，∠DAB+∠D=180°-∠ABC=120°，
∴∠EBC+∠D=120°，
∵∠AFE是△BDF的外角，
∴∠AFE=∠EBC+∠D=120°，
又∵∠ABD=60°，
∴∠AFE=2∠ABD；

（3）2∠AFE=∠ABD．
理由：如图3，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠BCE=120°，
在△BCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠ECB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABD（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠AFE=∠D+∠DBF，而∠DBF=∠CBE，
∴∠AFE=∠E+∠CBE=∠ACB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠ABD=2∠AFE．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及和全等三角形的判与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．解题时注意灵活运用：等边三角形3条边相等，每个角都是60°；全等三角形的对应角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．