Question

如图在△ABC中，D为AB中点，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：过D作DE∥AC，交BC于点E，由平行线等分线段定理，根据D为AB中点，得到E为CB中点，可得出DE为三角形ABC中位线，利用中位线定理得到AC=2DE，由两直线平行内错角相等及垂直定义得到DE垂直与CD，在直角三角形CDE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到CE=2DE，利用勾股定理表示出DC与AD，利用锐角三角函数定义即可求出∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

解答：解：过D作DE∥AC，交BC于点E，
∵AD=BD，
∴CE=EB，即DE为△ABC的中位线，
∴AC=2DE，
∵DC⊥AC，DE∥AC，
∴DC⊥DE，即∠CDE=90°，
∵∠BCD=30°，
∴EC=2DE，DC=

3

DE，
设DE=k，则CD=

3

k，AC=2k，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

7

k，
则sin∠CDA=

AC

AD

=

2k

7 k

=

2 7

7

，cos∠CDA=

CD

AD

=

3 k

7 k

=

21

7

，tan∠CDA=

AC

CD

=

2k

3 k

=

2 3

3

．

点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：三角形中位线定理，平行线等分线段定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．