Question

已知，等边△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分∠MDC交AC于N．
（1）若BD=DC（如图1），求证：EM+NC=DM；
（2）在（1）的条件下，如图2，作DF⊥AC于F，若NF：FC=3：5，AM=4，连接MN将∠DMN沿MN翻折，翻折后的射线MD交AC于P，连接DP交MN于点Q，求PQ的长．

Answer 1

分析：（1）首先延长AC至M′，使CM′=EM，连接DM′，根据全等三角形的判定得出△EMD≌△CM′D，进而得出DM=NM′=CN+CM′，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出AN，QC，NQ，MD，ED，AC，NC的长度，再利用相似三角形的判定得出△MRN∽△NFD，进而得出△MDN≌△KDN（ASA），再由△MPQ∽△KDQ，得出

PQ

QD

=

MP

DK

=

2

7

，QP=

2

9

DP即可得出答案．

解答：（1）证明：延长AC至M′，使CM′=EM，连接DM′，
∵BD=CD，
∴D为BC中点，
又∵DE∥AC，
∴△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

BC=CD，
∴∠BED=∠ACB=60°，
∴∠MED=∠M′CD=120°，
∵在△EMD和△CM′D中，

ME=CM′ ∠MED=∠DCM′ ED=DC

，
∴△EMD≌△CM′D（SAS），
∴EM=CM′，∠EDM=∠CDM′，
∵DN平分∠MDC，
∴∠MDN=∠CDN，
∴∠EDN=∠M′DN，
∵DE∥AC，
∴∠EDN=∠M′ND，
∴∠M′DN=∠M′ND，
∴DM′=NM′，
∴DM=NM′=CN+CM′，
∴DM=CN+EM．

（2）过M作MR⊥AN于R，延长MN交BC于点K，
∵NF：FC=3：5，
∴设NF=3x，CF=5x，
∴NC=8x，
∵DF⊥AC于F，∠C=60°，
∴CD=2CF=10x，
∵D为BC中点，
∴BD=CD=10x，
∴AE=10x，
∵AM=4，
∴EM=10x-4，
∴DM′=DM=EM+NC=18x-4，FM′=FC+CM′=15x-4，
DF=5

3

x，Rt△DFM′中，
（5

3

x）²+（15x-4）²=（18x-4）²，
解得：x₁=1，x₂=0（舍去）．
MD=18x-4=14，ED=CD=10x=10，AC=20x=20，NC=3x+5x=8x=8，
AN=20-8=12，QC=5，NQ=3，
∵∠A=60°，CQ=5，
∴DF=5

3

，
∴

MR

FN

=

RN

DF

，∠MRN=∠NFD=90°，
∴△MRN∽△NFD，
∴∠MNR=∠NDF，
∵∠NDF+∠DNF=90°，
∴∠MNR+∠DNF=90°，
∴∠MND=90°，
∵在△MDN和△KDN中，

∠MND=∠DNK DN=DN ∠MDN=∠NDK

，
∴△MDN≌△KDN（ASA），
∴∠DMN=∠DKN，
∴DK=DM=14，
∴∠DKN=∠NMP，
∴MP∥DK，
∴∠APM=∠ACB=60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴AP=AM=MP=4，
∴PC=16，PF=11，
∴DP=14，
∵∠DKN=∠NMP，∠MQP=∠KQD，
∴△MPQ∽△KDQ，
∴

PQ

QD

=

MP

DK

=

2

7

，
∴QP=

2

9

DP=

2

9

×14=

28

9

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．