Question

19．设x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，m是x的小数部分，n是-x的小数部分，则m³+n³+3mn=3-6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先把x化简，根据$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$2＜\sqrt{2}+1＜3$，再确定m、n的值，即可解答．

解答 解：x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}=\sqrt{2}+1$，
∵$1＜\sqrt{2}＜2$，
∴$2＜\sqrt{2}+1＜3$，
∴m=$\sqrt{2}+1-2=\sqrt{2}-1$，
-x=-$\sqrt{2}-1$，可以画一条数轴去直观的确定n=2-$\sqrt{2}$
∵$2＜\sqrt{2}+1＜3$，
∴$-3＜-\sqrt{2}-1＜-2$，
∴n=$-\sqrt{2}-1+2$=1-$\sqrt{2}$，
∴m³+n³+3mn=$（\sqrt{2}-1）^{3}$+$（1-\sqrt{2}）^{3}$+3（$\sqrt{2}$-1）（1$-\sqrt{2}$）=3-6$\sqrt{2}$
故答案为：3-6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算$\sqrt{2}$的大小．