Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．

（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；

（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（4）求当t为何值时，∠BEC＝∠BFC．

Answer 1

【答案】（1）当t＝4时，两点同时停止运动；（2）．（）；

（3）当t的值为4， ，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（4）当t＝时，∠BEC＝∠BFC．

【解析】

（1）由题意分析可得当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，此时可得到：△FED∽△FBC，同时对应的边都可以用t表示，得到，求出t即可；

（2）四边形BCFE的面积=三角形BCE的面积+三角形EFC的面积；通过题意得ED＝t，CF＝2t，即可表示出S与t的函数关系；

（3）以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分类讨论三角形谁为底，谁为高：①若EF＝EC时，则点F只能在CD的延长线上；②若EC＝FC时；③若EF＝FC时；再分别用含t的式子表示出对应边的平方，解得即可。（注意取舍）

（4）由题意得：在Rt△BCF和Rt△CDE中，∵∠BCF＝∠CDE＝90°，Rt△BCF∽Rt△CDE．∠BCE＝∠CED．若∠BEC＝∠BFC，则∠BEC＝∠BCE．即BE＝BC=8．，即，即可求出t的值。（注意取舍）

解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示。

由题意可知：ED＝t，BC＝8，FD＝2t﹣4，FC＝2t．

∵ED∥BC，

∴△FED∽△FBC．

∴．

∴．

解得t＝4．

∴当t＝4时，两点同时停止运动；

（2）∵ED＝t，CF＝2t，

∴．

即．（）；

（3）①若EF＝EC时，则点F只能在CD的延长线上，

∵，

，

∴．

∴t＝4或t＝0（舍去）；

②若EC＝FC时，

∵，，

∴

∴；

③若EF＝FC时，

∵，，

∴．

∴t1＝（舍去），t2＝．

∴当t的值为4，，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，

∵∠BCF＝∠CDE＝90°，，

∴Rt△BCF∽Rt△CDE．

∴∠BFC＝∠CED．

∵AD∥BC，

∴∠BCE＝∠CED．

若∠BEC＝∠BFC，则∠BEC＝∠BCE．

∴BE＝BC．

∵，

∴．

∴t1＝（舍去），t2＝．

∴当t＝时，∠BEC＝∠BFC．