Question

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两根x₁，x₂，则x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

，则x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

．
请运用上面你发现的结论，解答问题：
已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：
①x₁²+x₂²；
②

1

x1

+

1

x2

；
③（x₁+1）（x₂+1）．

Answer 1

分析：首先通过计算得出x₁+x₂和x₁x₂，从而发现规律，然后根据规律也就是根与系数的关系对下面的式子进行变形求解．

解答：解：由题意知：x1+x2=-

b

a

，
x1x2=

c

a

．
根据结论有：x₁+x₂=1，x₁x₂=-1
则①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1-2×（-1）=3；
②

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

1

-1

=-1；
③（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．

点评：本题主要考查根与系数的关系，关键是找到规律，化简求解．