Question

如图，已知函数y=

1

2

x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，已知点A（4，0）和点C（0，2）．
（1）求该抛物线的对称轴，顶点坐标及OB的长；
（2）若点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第四 象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
①若平行四边形OEAF的面积为S，试求S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
②当点E的坐标为

 

时，四边形OEAF为菱形（直接写出结果）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先把A（4，0）、C（0，2）代入y=

1

2

x²+bx+c，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用配方法求得对称轴，顶点坐标，然后根据对称性求出B点坐标，进而得到OB的长；
（2）①根据平行四边形性质得出平行四边形OEAF的面积等于2S_△OAE，得出S=2×

1

2

×OA×（-y），代入即可求出S与x之间的函数解析式，根据A、B的坐标即可求出x的取值范围；
②当EF与OA互相垂直平分时，四边形OEAF为菱形，根据EF是线段OA的垂直平分线可知点E的横坐标与线段OA中点的横坐标相同，由中点坐标公式求出点E的横坐标是2，再将x=2代入抛物线的解析式y=

1

2

x²-

5

2

x+2，求出y的值，即可得到点E的坐标．

解答：解：（1）A（4，0）、C（0，2）代入y=

1

2

x²+bx+c得：

8+4b+c=0 c=2

，
解得：

b=- 5 2 c=2

，
∴抛物线的解析式是y=

1

2

x²-

5

2

x+2．
∵y=

1

2

x²-

5

2

x+2=

1

2

（x²-5x+

25

4

）-

25

8

+2=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

，
∴对称轴为直线x=

5

2

，顶点坐标为（

5

2

，-

9

8

）．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A（4，0），对称轴为直线x=

5

2

，
∴点B（1，0），OB=1；

（2）①∵点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，
∴平行四边形OEAF的面积等于2S_△OAE，
即S=2×

1

2

×OA×（-y），
∴S=2×

1

2

×4×（

1

2

x²-

5

2

x+2）=2x²-10x+8，
∵A（4，0），B（1，0），
∴x的范围是1＜x＜4，
即S与x之间的函数解析式为S=2x²-10x+8，自变量x的取值范围是1＜x＜4；

②当EF与OA互相垂直平分时，四边形OEAF为菱形，此时点E的横坐标与线段OA中点的横坐标相同．
∵A（4，0），O（0，0），
∴线段OA中点的横坐标为

4+0

2

=2，
将x=2代入y=

1

2

x²-

5

2

x+2，得y=

1

2

×2²-

5

2

×2+2=-1，
∴点E的坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．

点评：此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求顶点坐标、平行四边形的性质、菱形的判定等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．