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    如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=
    5
    4
    x+m （m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
    （1）求m的值及抛物线的函数表达式；
    （2）若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；
    （3）是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
    （4）在（2）的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问
    M1P•M2P
    M1M2
    是否为定值？如果是，请直接写出结果；如果不是请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）首先求得m的值，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
    （2）（4）问较为复杂，如答图所示，分几个步骤解决：
    第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
    第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；
    第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
    第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：
    M1P•M2P
    M1M2
    =1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．
    （3）分①若C为直角顶点，△ACO相似于△CQE，②若A为直角顶点，△ACO相似于△AQE，两种情况讨论求解．
    解答：解：（1）∵一次函数y=
    5
    4
    x+m经过点A（-3，0），
    ∴m=
    15
    4
    ，
    则C的坐标为（0，
    15
    4
    ），
    ∵抛物线经过点A（-3，0）、C（0，
    15
    4
    ），且以直线x=1为对称轴，
    则点B的坐标为（5，0），
    ∴二次函数为y=-
    1
    4
    （x+3）（x-5）或y=-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    15
    4
    ；

    （2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．
    如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．
    ∵B（5，0），C（0，
    15
    4
    ），
    ∴直线BC解析式为y=-
    3
    4
    x+
    15
    4
    ，
    ∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．

    （3）存在…（7分）
    设Q（x，-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    15
    4
    ）
    ①若C为直角顶点，则由△ACO相似于△CQE，
    得x=5.2，
    ②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，
    得x=8.2，
    ∴Q的横坐标为5.2，7.2．

    （4）是定值，定值为1．
    令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，
    则直线的解析式是：y=kx+3-k，
    ∵y=kx+3-k，y=-
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    15
    4
    ，
    联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，
    ∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．
    ∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．
    根据两点间距离公式得到：
    M1M2=
    		(x1-x2)2+(y1-y2)2
    =
    		(x1-x2)+k2(x1-x2)2
    =
    		1+k2
    		(x1-x2)2
    ，
    ∴M1M2=
    		1+k2
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    		1+k2
    		(2-4k)2-4(-4k-3)
    =4（1+k2）．
    又∵M1P=
    		(x1-1)2+(y1-3)2
    =
    		(x1-1)2+(kx1+3-k-3)2
    =
    		1+k2
    		(x1-1)2
    ；
    同理M2P=
    		1+k2
    		(x2-1)2

    ∴M1P•M2P=（1+k2）•
    		(x1-1)2(x2-1)2
    =（1+k2）•
    		[x1x2-(x1+x2)+1]2
    =（1+k2）•
    		[-4k-3-(2-4k)+1]2
    =4（1+k2）．
    ∴M1P•M2P=M1M2，
    ∴
    M1P•M2P
    M1M2
    =1为定值．
    点评：本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．
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    5x-3y=-1
    ．

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    （1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；
    （2）通过推理论证：在P、Q的运动过程中，线段DE的长度不变．

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    （2）
    2x-1
    3
    =1-
    2x-1
    6
    ．

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    2x-m
    x-2
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    ．

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