Question

20．如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在形外的F点．
（1）如图1，当∠AEB=40°时，∠DAF的度数为10°；
（2）如图2，连BD，若∠CBD=20°，AF∥BD，求∠BAE；
（3）如图3，当AF∥BD时，设∠CBD=α，请你直接写出∠BAE=45°+$\frac{1}{2}$α（用α表示）．

Answer 1

分析 （1）先根据翻折变换的性质得出∠F=90°，∠AEB=∠AEF，故可得出∠BEF的度数，根据平行线的性质得出∠AGF的度数，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据AD∥BC，∠CBD=20°得出∠ADB=20°，再由AF∥BD得出∠FAD=20°，故可得出∠AGF的度数，由平行线的性质得出∠BEF的度数，根据翻折变换的性质得出∠BEA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（2）的证明过程．

解答 解：（1）如图1，∵△AEF由△AEB反折而成，∠AEB=40°，
∴∠F=90°，∠AEB=∠AEF=40°，
∴∠BEF=80°．
∵AD∥BC，
∴∠AGF=∠BEF=80°，
∴∠DAF=90°-80°=10°．
故答案为：10°；

（2）如图2，∵AD∥BC，∠CBD=20°，
∴∠ADB=20°．
∵AF∥BD，
∴∠FAD=20°，
∴∠AGF=90°-20°=70°．
∵AD∥BC，
∴∠BEF=∠AGF=70°．
∵△AEF由△AEB反折而成，
∴∠BEA=$\frac{1}{2}$∠BEF=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∴∠BAE=90°-35°=55°；

（3）如图3，∵AD∥BC，∠CBD=α，
∴∠ADB=α．
∵AF∥BD，
∴∠FAD=α，
∴∠AGF=90°-α．
∵AD∥BC，
∴∠BEF=∠AGF=90°-α．
∵△AEF由△AEB反折而成，
∴∠BEA=$\frac{1}{2}$∠BEF=$\frac{1}{2}$×（90°-α）=45°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠BAE=90°-（45°-$\frac{1}{2}$α）=45°+$\frac{1}{2}$α．
故答案为：45°+$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．